関数F(x)＝x^3+ax^2+bx+1（a bは実数)はF(2)＝3,F’(3)＝0を満たしている

関数F(x)＝x^3+ax^2+bx+1（a bは実数)はF(2)＝3,F’(3)＝0を満たしている。

A)a bの値
B)-1≦x≦4におけるF(x)の最大値、最小値とその時のxの値
C)xについての3次方程式x^3+ax^2+bx+1＝tが異なる３つの実数解を持つ時、定数tの取り得る値の範囲を求めよ。
またその時、３つの解の整数部分をl、m、nとする。l+m+n＝4となるようなtの値の範囲を求めよ。ただし、実数pの整数部分とはk≦p<k+1（kは整数)を満たすkの値である。
という問題を教えていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/19 21:39

f(x)=x^3+ax^2+bx+1…(f)

(a,bは実数)はf(2)=3,f'(3)=0を満たしている
(1)
f(2)
=8+4a+2b+1
=
4a+2b+9=3
↓両辺から9を引くと
4a+2b=-6
↓両辺を2で割ると
2a+b=-3…(1.1)

(f)を微分すると
f'(x)=3x^2+2ax+b…(1.2)

f'(3)
=27+6a+b
=
6a+b+27=0
↓両辺から27を引くと
6a+b=-27
これから(1.1)を引くと
4a=-24
↓両辺を4で割ると
∴
a=-6…(答)
これを(1.1)に代入すると
-12+b=-3
↓両辺に12を加えると
∴
b=9…(答)

(2)
-1≦x≦4
の時(1)から
f(x)=x^3-6x^2+9x+1
(1.2)から
f'(x)=3x^2-12x+9
f'(x)=3(x^2-4x+3)
f'(x)=3(x-1)(x-3)…(2.1)

f(-1)=-1-6-9+1=-15
-1<x<1の時f'(x)>0だからf(x)は増加
f(1)=1-6+9+1=5
1<x<3の時f'(x)<0だからf(x)は減少
f(3)=27-54+27+1=1
3<x<4の時f'(x)>0だからf(x)は増加
f(4)=64-96+36+1=5
∴
最大値5(x=1またはx=4)
最小値-15(x=-1)

(3)
x^3-6x^2+9x+1=t
↓両辺からtを引くと
x^3-6x^2+9x+1-t=0
g(x)=x^3-6x^2+9x+1-t
とすると
g'(x)=f'(x)
↓(3.1)から
g'(x)=3(x-1)(x-3)
だから
x<1の時g'(x)>0だからg(x)は増加
極大値g(1)
1<x<3の時g'(x)<0だからg(x)は減少
極小値g(3)
3<xの時g'(x)>0だからg(x)は増加
だから
g(x)=x^3-6x^2+9x+1-t=0
が異なる3つの実数解をもつとき
g(3)<0<g(1)
だから
g(3)=1-t<0<5-t=g(1)
1-t<0<5-t
↓各辺にtを加えると
∴
1<t<5

3つの解α,β,γの整数部分を
L=int(α)
m=int(β)
n=int(γ)
とすると
L≦α<L+1
m≦β<m+1
n≦γ<n+1
L+m+n=4
α<1<β<3<γ
だから
L≦0<1≦m≦2<3≦n

αβγ=t-1>0
だから
α>0,β>0,γ>0
だから
0≦L≦0<1≦m≦2<3≦n
だから
L=0
だから
m+n=4
3≦n=4-m
1≦m≦1
だから
m=1
だから
n=3
L=0,m=1,n=3
0<α<1
1≦β<2
3≦γ<4

1≦β<2<3の時gは減少だから
0=g(β)>g(2)=3-t
だから
3<t

3≦γ<4の時gは増加だから
0=g(γ)<g(4)=64-96+36+1-t=5-t
だから
t<5
∴
3<t<5