数学です！x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組はなん組あるかという問題

数学です！x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組はなん組あるかという問題について教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/23 14:28

x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組は

(x,y,z)=(1,1,6)や(2,3,3)など
整数なので、x=1.5等はあり得ません。
そこで、(x,y,z)=(1,1,6)の解釈を変えます。この場合x,y,zの3人に8個のアメを1,1,6として分けたと考えることもできます
(2,3,3)ならx,y,zの3人にアメを2,3,3として分けた ということです。
つまり本問は、x,y,zの3人に8個のアメを配る場合、配り方は何通りあるか？（ただし、各人最低1つはアメをもらう事とする）と言う問題にすり替えることが出来るのです。（x,y,zが人間ではなく箱としても良いし、あめではなくペンでも、適当に決めて良いです）

ということで、8個のアメの配り方を考えます。
各人最低1つはアメをもらう、と言う条件があるので予め1こづつアメを配っておきます
この段階で(x,y,z)=(1,1,1)残るアメは5個です。
この5個の配り方の一例は、アメ：「○」５こと　と、仕切り:「|」2個を用いて
　　○　　｜　　○　　｜○○○
　　↑　　　　　↑　　　　↑
xの場所　　yの場所　　　ｚの場所
のように書き表すことが出来ます
この場合5個のアメのうち、x、ｙは1こづつ、ｚは3個配られたという意味です
（あらかじめ配られたものと合わせると(x,y,z)=(2,2,4))

別の例としては
｜｜○○○○○
などもあります。この場合仕切りの左（ｘの場所）及び、仕切りと仕切りに挟まれた場所（yの場所）に○は無いから
5個のアメはx、ｙに０こづつ、ｚは５個配られたという意味です。
（ちなみにこの時、あらかじめ配られたものと合わせると(x,y,z)=(1,1,6)になります）
このように、仕切りでx,y,zの場所を決めてあげ、そこに○を配るというように考えると、アメ5個の配り方のすべてのケースを網羅できるわけです（つまり、あらかじめ配られたアメと合わせれば、(x、y、z)のアメの個数を全て網羅できるということ）

そこで、「○｜○｜○○○」…①や「｜｜○○○○○」…②などが全部でいくつあるか数えに行きます。
よく見るといずれの場合も、
全部で7個のBOX(□)・・・□□□□□□□
に仕切り「｜」2個を入れた物になっています。
左から2番目と４番目のBOXに仕切りを入れた場合が①
左端と、左から2番目のBOXに仕切りを入れた場合が②です。

この他にも仕切りを入れるBOX2か所の組み合わせを変えることで、アメ5個の配り方のすべてのケースを表現できます。
なので、仕切りを入れるBOX2か所の組み合わせをすべて数えます。
異なる7個のBOXから仕切りを入れる2個を選ぶ組合せなので7C2通りです。
この回答を逆順にたどっていけば、これ(7C2)がアメ5個の配り方に等しく、
つまりはアメ８個の配り方に等しいので
x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組に等しいと言うことになります。

このようなBOXと仕切りを用いる考え方を重複組合せと呼びます
（これを初めから式だけで表すと、異なる3種類の物から重複を許して５こ取る組み合わせということで
₃H₅=₃₊₅₋₁C₅=₇C₅=₇C₂となりますが、上の考え方を理解したうえで余裕があれば₃H₅の式をマスターしてください）

なお、重複組合せでは②のように5個のアメを(0,0,5)に分ける場合も数えていることになるので、注意が必要です
この問題で初めから、アメ8個をx,y,zの3人に分ける方法は
全部で10個のBOX(□)・・・□□□□□□□□□□
に仕切り「｜」2個を入れた物であるから10C2だと考えてしまうと
(x,y,z)=(0,0,8)なども数えてしまう事になるので題意「正の整数」に合いません
（だから、あらかじめ1こづつアメを配ったとしているのです）

この回答へのお礼

本当にありがとうございます！とても分かり易かったです！このやり方をマスターすれば周りと差をつけられますね！またお答え戴けると有り難いです！改めてありがとうございました！

お礼日時：2019/01/23 18:23

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/21 16:14

1つづつ書き出すんですか？x+y+z=8だからまだいいけれど

x+y+z=60とかだったらどうしますか？
テストの時間を全て費やさなければ答えが出ないかもです。
組合せの考え方をマスターしないと厳しいですよ！（周りの人に差をつけられてしまいます）

この回答へのお礼

そうですよね...実はわからないところがあってxyzに数字1を配るとありますが数字1とはなんの事でしょうか？考えていたんですが○を使うやり方が理解することができませんでした。もう一度そこだけ教えて頂けないでしょうか？何度もすみませんm(_ _)m

お礼日時：2019/01/22 21:08

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/20 15:32

自然数 3つの和が 8 ですから、1～6 の6つの数字しか使えませんので、

一つづつ 場合を書き出していくしかないでしょうね。
1+1+6=8, 1+2+5=8, 1+3+4=8, 2+2+4=8, 2+3+3=8 の５通り しかありません。
(x,y,z) が (1,1,6); (2,2,4); (2,3,3) の場合は、並び方がそれぞれ 3組で、合わせて9組。
(1,2,5); (1,3,4) の場合は、並び方がそれぞれ 6組で、合わせて 12組。
合計で9+12＝21 で 21組。

この回答へのお礼

ありがとうございます！やっぱり数えるしかないんですね、、、

お礼日時：2019/01/21 15:24

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/20 15:06

x,y,zに数字１、八こを配るというように考えます。

x,y,zは正の整数なので、数字１をあらかじめ一個ずつ配っておきます
すると残る数字１、五こを配る方法は自由で多数あります
ここで、重複組合せの考え方を利用
左から順にxの場所、ｙの場所、ｚの場所、そして仕切りとすると
○○|○|○○
は配られた1が、xは二個、ｙ＝１個,z=2個を表します(初めから配っておいた１三個を合わせれば(x,y,z)=(3,2,3))
||○○○○○
ならx=y=0,z=5です(初めから配っておいた１三個を合わせれば(x,y,z)=(1,1,6))
このように7か所に仕切り２こを入れる方法の違いによって、x,y,zの数値が決まりますので
しきりの配置の仕方を数えます
異なる7か所から異なる2か所を選ぶので7C2=21通りです
よって残る数字１、五こを配る方法は21通り
つまり、x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組も21組です＾－＾￥

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/01/21 15:24