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三次方程式x^3+1=0の-1でない解の1つを‪α‬とするとき、(3+7‪α‬)(7+3‪α‬)-4(1+‪α‬^2)=□‪α‬となる。
この問題の□に入るものを解いて解答していただきたいです。

A 回答 (5件)

因数分解の公式:A³+B³=(A+B)(A²-AB+B²)


でA=x,B=1として
x³+1³=(x+1)(x²-x+1²)=0
この方程式の解がαなら、当然この式にx=αを代入したときに等式が成り立つので
(α+1)(α²-α+1²)=0
この式から(α+1)=0・・・①または(α²-α+1²)=0・・・② でなければならないが
ここで、α≠-1だから①にはならない。従って②:(α²-α+1²)=0となります。
②を変形してα²=αー1を次の式に代入
(3+7‪α‬)(7+3‪α‬)-4(1+‪α‬^2)=(21+58α+21α²)-4(1+α²)
=17+58α+17α²
=17+58α+17(αー1)
=75α
となります^-^¥
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この回答へのお礼

とてもわかりやすく、ありがとうございます

お礼日時:2019/01/30 02:05

x^3+1=(x+1)(x^2ーx+1)=0から α^2ーα+1=0 ∴ α^2=αー1 ……(1)


また、α^3=ー1 ∴α^4=ーαより
(3+7α)(7+3α)ー4(1+α^2)=(7αー7+10)(3αー3+10)ー4(1+α^2)
=7・3(αー1)^2 +(3・10+7・10)(αー1)+10・10ー4(1+α^2)
=21(αー1)^2 +100(αー1)+100ー4(1+α^2)

=21α^4+100α^2 +100ー4(1+α^2)
=ー21α+96α^2 +96=ー21α+96(αー1)+96=(96-21)α=75α

または
=21α^4+100(αー1)+100ー4α=ー21α+96α=75α
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2019/01/30 02:05

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0


だからα^2=α-1
これで計算式のαの次数を落としてゆく。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2019/01/30 02:05

21+9+49-4=75

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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2019/01/30 02:05

アルファー=(-1)^(1/3)


って事ですかね
頑張ってください!
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2019/01/30 02:06

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