何故(x-1)/(x-2)+x=aとして解いてはいけないのですか？

何故(x-1)/(x-2)+x=aとして解いてはいけないのですか？

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/01/23 00:22

No.2です。

勘違いしてました。

この問題、2つの解法がありますね。
①No.1の解答のように、xの2次方程式の形に変形して、判別式を使って解の個数を調べる方法
②y=(x-1)/(x-2)+xのグラフとy=aのグラフの共有点の個数を調べる方法

もちろん、②のやり方でもOKですが、y=(x-1)/(x-2)+xのグラフを描くときに、分数関数の微分が必要になり、
それはたぶん数Ⅲの範囲ですね（微分自体は簡単）。グラフさえ描ければ、答はすぐに判ります。
（グラフを添付します。微分して増減表を書けば、極大値が1、極小値が5なので、aが1と5のときに状況が変わることが判ります。）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/22 23:34

やっていいです。

ただし、
(x-1)/(x-2)=-x+a から分母を払って
(x-1)=(-x+a)(x-2) と変形するときに、2次方程式の他に
分母の条件 x-2≠0 が付いてくることを忘れずに。
最後に解が x≠2 であることを確認しないと、減点ですよ。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/01/22 21:03

この問題、逆に、(x-1)/(x-2)+x=aという式を考えないような解き方はあり得ない。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/22 00:46

そうやって解いてよいですよ。

大事なのは、そこからどうするかだけど。

共有点（交点、接点）では、x 座標も y 座標も等しくなるので、「同じ y 座標になる」ということから
　(x - 1)/(x - 2) = -x + a　　　①
が成立します。これが成り立つ x を求めればよいわけです。

①を変形すれば、分数形でなくすために両辺に (x - 2) をかけて
　x - 1 = (-x + a)(x - 2)
展開して整理して
　x - 1 = -x^2 + (a + 2)x - 2a
→　x^2 - (a + 1)x + (2a - 1) = 0

「共有点が2個」ということは、この二次方程式が「異なる2個の根を持つ」ということだから
　D = (a + 1)^2 - 4(2a - 1) > 0
つまり
　a^2 + 2a + 1 - 8a + 4 = a^2 - 6a + 5 = (a - 1)(a - 5) > 0　　　　②
よって、これを満たす a の範囲は
　a < 1, 5 < a

「共有点が１個」ということは、この二次方程式が「重根を持つ」ということだから
　D = (a + 1)^2 - 4(2a - 1) = 0
つまり
　(a - 1)(a - 5) = 0　　　　③
よって
　a = 1, 5

「共有点を持たない」といことは、この二次方程式が「実数解を持たない」ということだから
　D = (a + 1)^2 - 4(2a - 1) < 0
つまり
　(a - 1)(a - 5) < 0　　　　④
よって
　1 < a < 5

以上をまとめて
・a < 1, 5 < a のとき、共有点は2個
・a = 1, 5 のとき、共有点は１個
・1 < a < 5 のとき、共有点は0個（共有点を持たない）