プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

この二問の解き方がわからなくなってしまいました。
親切な方どなたか教えていただけると助かります。

1.出生男児の体重は平均3.2kg、標準偏差0.4kgの正規分布に従うとする。16人の出生男児を無作為に選ぶとき、16人の体重の平均が3.35kg以下となる確率を求めよ

2.ある大学の学生の30%がメガネをかけている。中心極限定理を用いて、1教室100人の学生の少なくとも40人が眼鏡をかけている確率を求めよ。

A 回答 (2件)

「中心極限定理」とは、母集団の分布が平均と分散を持つならば、


抽出するサンプルサイズが大きくなるにつれて標本平均の分布は
正規分布に近づく というものです。
ここで「近づく」とは、弱収束 = 分布収束 = 法則収束 といって、
確率分布関数が関数として各点収束の意味で正規分布へ収束する
ということです。
後半はややヲタクな説明ですが、中心極限定理の成立条件に
母集団平均と分散の存在があることは、知っておいたほうがいい。
日常の統計処理によく使う有名な確率分布でも、平均や分散が
収束しないものはあります。
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「1」は、もう一つの質問の方に回答しましたので、そちらを参照ください。


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10943986.html

2. 「中心極限定理」とは、母集団の分布がどんな分布であっても、抽出するサンプルサイズが大きくなるにつれて標本平均の分布は正規分布 に近づく」というものです。

つまり、「30%がメガネをかけている」というのは、分布としては「メガネをかけているか、いないか」の二項分布ですが、そこから無作為に「100人」を選んでその「メガネをかけている人数」を数え、たくさんの「100人のサンプル」を採ってくると、「メガネをかけている人数(あるいは100人中のメガネ率)」は「正規分布する」ということです。

もともとの「二項分布」で「メガネをかけている確率」は p=0.3 なので、「n 人のサンプルを採ったときに、メガネをかけている人数が k 人」である確率は
 P(n, k) = nCk * 0.3^k * 0.7^(n - k)
で、そのときの期待値、分散は
 期待値:E = np
 分散 :V = np(1 - p)
です。(これは「二項分布」に基本なので、分からなかったら復習してください)
n=100 なら
 E = 100 * 0.3 = 30
 V = 100 * 0.3 * 0.7 = 21

ということで、たくさんの「100人のサンプル」を採ってきたときの、「メガネをかけている人数」は
 平均:30人、分散:21 → 標準偏差:√21 ≒ 4.58人
の正規分布をするとみなせます。

このとき、「少なくとも 40人 = 40人以上」というのは、平均との偏差を標準偏差で割って、
 (40 - 30)/4.58 ≒ 2.18
なので、正規分布で、標準偏差を σ としたときに
 平均値 + 2.18σ
よりも大きくなる確率ということです。

標準正規分布表から、Z = 2.18 の欄を読み取って
 0.014629
ですから、「少なくとも 40人 = 40人以上」がメガネをかけている確率は
 約 0.0146 = 約 14.6%
ということになります。

↓ 標準正規分布表。今回の場合にはこのタイプ(Z 以上の確率をまとめた表)が使いやすい。
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html
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