球片の 体積、

添付映像のような　球片が、
液面から　浮き出ていると、
します。


お伺いしたいのは、
此の　体積なのですが、

以下で　合っているか、
確認させてください。

方針ですが、
断面が、
回転して　出来た、
物体を　見立てます。


先ずは、
球の　　中心を、
O、
浮き出た　高さを、
L、
此のLを　取った、
位置を　回転軸、
浮い出た　液面断面半径を、
Jと、
すると、

縦断面の、
回転軸で　等分した、
扇形における、
中心Oからの　角度半分θは、
θ=180°-アークタンジェント(J/l)*2

元の　球半径rは、
r=J/sin(θ)

縦断面の、
浮いた範囲の　中心Oからの、
扇形面積　半分(A+B)は、
(r^2)π*θ/360°

此の内の、
液下にある　三角形を、
回転軸で　等分した時の、
面積(B)は、
(r-L)*J/2

縦断面中の、
浮いた　球片断面の、
方断面(A)の　面積arは、
ar=(r^2)π*θ/360°-(r-L)*J/2

又、
方断面(A)の、
回転軸-重心距離Sだが、

先ず、係数k
k=θ/(θ-cos(θ)×sin(θ))

そして、
S=rk/4(√(2θsin(θ))+((1-k)sin(θ)/3)))


此を　回転させた時の、
体積、

詰まり、
液面上の　体積は、
2πarS


理解し難い　書き方だと、
思います、
済みません、
お許しを。


では、
合ってますか？


後、
もっと簡単に　求める方法は、
ありますか？


以上、
計算が　合わないのですが、

どうぞ　宜しく、
お願い　致します。

質問者からの補足コメント

• 

  済みません、
  後付けに　なりますが、
  
  実使用環境で　アークタンジェントが、
  使えない事が　判明しました、
  
  アーク〜系は、
  全滅かも　知れません、
  
  
  其の為、
  球半径rが　求められません。
  
  
  其れでも、
  何とか　なりますでしょうか？
  
  
  お願いします。

    補足日時：2019/01/26 14:02

• 

  済みません、
  アークタンジェントも　使えましたし、
  半径も　得られましたが、
  
  今度は　計算結果が、
  どうも違います。
  
  
  r ≒ 323.04666667mm
  h = 322.29166667mm
  断面半径= 22mm
  計算結果 ≒ 70.1147477L
  
  あ…　あり得ない、
  
  
  何故でしょう？

    補足日時：2019/01/26 16:22

• 

  と　いうか、
  L=0.75
  なので、
  球片ではなく、
  
  より体積が　多く出る
  円柱と　見立てると、
  
  
  円柱の　体積、
  半径=22mm、
  高さ=0.75mm
  22mm^2×π×0.75mm÷100mm^(3)
  =0.001140398133L
  に　対し、
  
  円錐の　体積が、
  1/3で、
  0.000380132711
  だから、
  
  今回は、
  此より　やや多い、
  
  まあ　大凡では、
  0.000488742057 L
  位が　妥当かな？
  とも　思うのですが。
  
  
  其処へ、
  計算結果が　70L超えって、
  
  何か、
  違う気が　します。
  
  
  私　またもや、
  ケアレスミス　したのかも？
  
  でも、
  主使用環境外でも、確認したのだけどな〜、
  式　読み間違えたかな〜？

    補足日時：2019/01/27 00:39

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/26 21:33

無理矢理パックスギュルダンに持って行こうと

しているのはわかるが、重心を求める積分が大変。
素直に体積を積分で
求めた方が遥かに簡単。

この回答へのお礼

有難うございます、

どの道、
微積分は　必要なのですから、
そうも　仰らずとも、…


感覚的に、
断面を　回す方が、
今の　私的なもので、
はぃ　　　((^◇^;))

お礼日時：2019/01/26 22:57

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/26 12:51

そんなに難しく考えずに、高校レベルで充分解けます。

下図で、球の半径r、球の中心～hの所が水面とします。

水面に接してる部分は、半径＝赤太線を半径とした円なので、
この円の面積は、縦方向の変数をxとすればπ(r²-x²)
(下図の赤い円）

x方向のΔ増分をΔxと書けば、微小体積はπ(r²-x²)Δx

水面から上の体積はπ(r²-x²)をx=h～rまで定積分すれば求まります。

[x=h～r]∫π(r²-x²)dx

これを計算すると
体積=(2/3)πr³ - πr²h + (1/3)πh³

浮き出た高さをLと書くならば、h=r-Lを代入して
体積=(2/3)πr³ - πr²(r-L) + (1/3)π(r-L)³

L=0なら、体積＝０が求まり、L=rなら半球の体積が求まります。

この回答へのお礼

おぉ、
円は　苦手なもので、
お恥ずかしい、

有難うございます。

お礼日時：2019/01/26 13:07