大至急です！解き方を教えてください！

大至急です！解き方を教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/26 23:41

(log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 = 2

で x = 2 のとき、代入して
(log_2 2)^2 + (log_2 y)^2 = 2 より
log_2 y = ±√{2 - (log_2 2)^2}
= ±√{2 - 1^2} = ±1.

よって、
y = 2^1 = 2 または
y = 2^-1 = 1/2.

z = xy と置くと、
log_2 z = log_2 (xy)
= (log_2 x) + (log_2 y).
また、
(log_2 z)^2 = {(log_2 x) + (log_2 y)}^2
= (log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
= 2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
より
(log_2 x)(log_2 y) = {(log_2 z)^2 - 2}/2.

t = log_2 x, log_2 y が
方程式 t^2 - (log_2 z)t + {(log_2 z)^2 - 2}/2 = 0
の解になるから、この方程式が実数解を持つように
0 ≦ 判別式 = (log_2 t)^2 - 4{(log_2 z)^2 - 2}/2
= 4 - (log_2 z)^2.
これを満たす z の範囲は、
-2 ≦ log_2 z ≦ 2 より
1/4 = 2^-2 ≦ z ≦ 2^2 = 4.

z の最大値は 4 でそれは
t = log_2 x, log_2 y が
t^2 - 4t + 4 = 0 の解であるとき、
つまり log_2 x = log_2 y = 2 のとき。
このとき、x = y = 2^2 = 4 である。

z の最小値は 1/4 で、それは
t = log_2 x, log_2 y が
t^2 + 4t + 4 = 0 の解であるとき、
つまり log_2 x = log_2 y = -2 のとき。
このとき、x = y = 2^-2 = 1/4 である。