数学です。 Σn=1〜∞ 1/(2n+1)(2n+3) の解き方を教えてください。

数学です。
Σn=1〜∞ 1/(2n+1)(2n+3)
の解き方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/29 01:08

Σ[n=1〜∞] 1/(2n+1)(2n+3)

= lim[m→∞] Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3).
Σ[n=1〜∞] だと、Σ を分解したり
項を並べ替えたりが自由にできないので、
まずは Σ[n=1〜m] を考えましょう。

よくある、Σ の中身を階差数列と見る
ような引き算を探すパターンで、
今回は部分分数分解が使えます。
1/(2n+1)(2n+3) = (1/2){ 1/(2n+1) - 1/(2n+3) }.
これを使って、
Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3)
= Σ[n=1〜m] (1/2){ 1/(2n+1) - 1/(2n+3) }
= (1/2){ Σ[n=1〜m] 1/(2n+1) - Σ[n=1〜m] 1/(2n+3) }
= (1/2){ Σ[n=0〜m-1] 1/(2n+3) - Σ[n=1〜m] 1/(2n+3) }
= (1/2){ 1/(2・0+3) - 1/(2m+3) }
いわゆる、真ん中がばっさばっさ消える というやつです。

あとは lim[m→∞] を行って、
Σ[n=1〜∞] 1/(2n+1)(2n+3)
= lim[m→∞] Σ[n=1〜m] 1/(2n+1)(2n+3)
= lim[m→∞] (1/2){ 1/3 - 1/(2m+3) }
= (1/2)(1/3)
= 1/6.

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/29 10:40

定和分にて ただし 〔 〕は差分 記号としました！

与式=(1/4)・Σ 1…∞ 1/(n+1/2)(n+3/2)
=(1/4)・∫ 1…∞ (n+1/2)〔ー2〕⊿ n
=(1/4)・(ー1)・lim n→∞［ (n+1/2)〔ー1〕］n+1 →1
=(1/4)・(ー1)・(0ー(1+1/2)^(-1))
=(1/4)・(3/2)^(-1)=(1/4)・(2/3)=1/6

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/29 10:36

与式=(1/4)・Σ 1…∞ 1/(n+1/2)(n+3/2)

=(1/4)・∫ 1…∞ (n+1/2)〔ー2〕
=(1/4)・(ー1)・［ (n+1/2)〔ー1〕］∞…1
=(1/4)・(ー1)・(0ー(1+1/2)^(-1))
=(1/4)・(3/2)^(-1)=(1/4)・(2/3)=1/6

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/29 01:06

1/(2n+1)(2n+3) が1/((2n+1)(2n+3))であるなら、

1/((2n+1)(2n+3))
=(1/2)( (1/(2n+1)) - (1/(2n+3)) )
=(1/2)( (1/(2n+1)) - (1/(2(n+1)+1)) )

Σn[1〜∞] 1/((2n+1)(2n+3))
=(1/2)( (1/3) - (1/5) )+(1/2)( (1/5) - (1/7) )+…
=(1/2)(1/3) - (1/2)(1/(2(∞+1)+1)) )
=1/6