AB=5、BC=6、CA=7である△ABCにおいて、内角の内接円の中心をIとし、この内接円と辺AB、

AB=5、BC=6、CA=7である△ABCにおいて、内角の内接円の中心をIとし、この内接円と辺AB、BC、CAとの接点をそれぞれP、Ｑ、Rとする。
①AR=APの長さ、cosABC
②PIの長さ
③PQの長さ、cosPRＱ
これをといて頂きたいです。
出来たらわかりやすく途中式をかいて頂けると嬉しいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/30 14:24

または、△ARI 合同 △API より PとRは、直線AIにおいて、対称であるから、AI ⊥ PR

であるから、AP=AR=5-2=3 ,CR=CQ=6-2=4 から
三平方の定理からAIがでてきて
(1/2)・3・r=(1/2)・AI・( PR/2 ) から、PRがでる。
同様に、RQもでてきて、△PQRの全ての辺がでてくるから、余弦定理からでてくるだろう
が、計算が大変みたいなので、考え方のみ！

この回答へのお礼

本当にありがとうございます

お礼日時：2019/01/30 18:51

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2019/01/30 14:21

①

AR=APの長さ
AR=AP=x, BP=BQ=y, CQ=CR=z とすると
AB=5=AP+BP=x+y 同様に
BC=6=y+z, CA=7=z+x
未知数3個、式3個なので連立方程式が解けてx,y,zが計算できます

cos∠ABC
△ABCで余弦定理

②
△ABCの面積を求めて、面積=(1/2)*PI*(AB+BC+CA) の関係から
ちなみにヘロンの公式S=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) を使えば
PI=√((s-a)(s-b)(s-c)/s) となります　AB+BC+CA=2s より
(2/3)*√6 かな

③
PQの長さ
△PBQ で余弦定理

cos∠PRQ
△PRQ の外接円の半径がPI
PQは計算すみより
正弦定理でsin∠PRQが計算可能

この回答へのお礼

本当にありがとうございます。

お礼日時：2019/01/30 18:51

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/30 14:08

内心 I の性質より

△PBI 合同△BQI よりPB=QB=bとし、 同様にCQ=CR=cとし また
AP=AR=aとおけば、
2(a+b+c)=5+6+7=18 また c+a=7から b=18/2 ー7=2
よって、余弦定理より
PQ^2=2^2+2^2ー2・2・2・(1/5)=4^2・2/5 ∴PQ=4(√(2/5))=(4/5)√10

円周角∠PRQ=(1/2)中心角∠PIQなので
余弦定理より
((4/5)√10 )^2=2・((2/3)√5)^2 ー2・(2/3)√5 cos∠PIQ
から、cos∠PIQがでてくるので、
半角の公式 cos^2 (θ/2)=(1+cosθ)/2 からcos∠PIQ/2 を求めてください！

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/30 13:30

余弦定理より

7^2=5^2+6^2ー2・5・6・cosABC=61ー60・cosABC ∴ cosABC=1/5

∴sinABC^2=1ー1/5=4/5 ∴sinABC=2/√5
∴△ABCの面積S=(1/2)・5・6・2/√5=6√5 ………ヘロン式でも良い！

PI=QI=RI=rとすれば、S=(1/2)・(5+6+7)・r=6√5 ∴ r=(2/3)√5