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三次元空間内の2つのベクトルについて、内積を計算した時、その値が負になっても2つのベクトルの成す角が鋭角になることはありますか?

gooドクター

A 回答 (4件)

ありません。


三次元に限らず、ベクトル a,b の「成す角」とは、
内積を使って (a・b)=|a||b|cosθ となるような θ
が、その定義だからです。図を書いて角度を測ったら
この式が成立したんじゃありません。この式で
成す書くという概念を定義するんです。
だって、4次元以上になったら、図を書いて角を測る
なんでできないんだしね。
cos の変域を考えれば、内積が負⇔成す角が鈍角
です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。始点を揃えるのを忘れていたせいで、符号が逆になるという凡ミスをしていただけでした。

お礼日時:2019/02/07 11:11

2つのベクトルをa,b そのなす角をθとします(ベクトルの矢印は省略)


2つのベクトルa,bの内積は
a・b=|a||b|cosθですから、これが負になるときその原因はcosθが負になること以外にはありえません。
従って 内積が負ならcosθが負
cosθが負ならθは鈍角です(θが鋭角なら内積は正です)

また、図のように内積とは→aと垂直な光を→bに当ててその影の長さ(→bの→a方向成分と→aの長さ(成分))を掛け合わせたものと言う意味があります。
図から分かるとおり→bの影の長さは、θが鋭角の場合でも鈍角の場合でも|bcosθ|です。
ただし、長さではなく成分を考える場合、向きが明確となり以下のようになります。
内積が正という事は、→bの影(bのa方向成分)と→aの方向が同じということ
図からわかるとおり、このとき必然的にθは鋭角です
反対に内積が負という事は、→bの影(bのa方向成分)と→aの方向が正反対ということ
図からわかるとおり、このときθは必然的に鈍角です
ちなみに→bの影ができない時、影の長さは0なので内積も0、このときθ=90度です。
「三次元空間内の2つのベクトルについて、内」の回答画像4
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No.1です。

少し補足。

もちろん、「2つのベクトルの成す角」とは
「一方のベクトルの始点を他方のベクトルの始点に重ねた場合に2つのベクトルで作られる角度のうち180°以下となる方の角度」
という定義です。
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ありません。



内積が正なら「鋭角」
内積がゼロなら「直角」
内積が負なら「鈍角」

です。
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