2次関数y=x^2-2ax+2a^2-5のグラフがx軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる時、定数

2次関数y=x^2-2ax+2a^2-5のグラフがx軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる時、定数aの値の範囲を定めよという問題の解法を教えてください！

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/02/11 21:38

2次関数

y=x²-2ax+2a²-5
のグラフがx軸の正の部分の負の部分でそれぞれ交わるということは、2次方程式
x²-2ax+2a²-5=0
の解が正と負であることを意味する。つまり2つの解の積は負である。
よって解と係数の関係から
2a²-5<0
-√10/2<a<√10/2


となります。

判別式云々は必要ありません。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/11 20:46

No.2 さんの言うとおりかなあ。

グラフを考えれば、
No1 さんの④を満たす a は③も満たす
ことは、計算する前から判ります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/11 18:50

2次関数のグラフが理解できていれば、分かる問題だと思います。

質問の式は x² の係数が 1 ですから、下に凸な放物線になります。
それが 「x軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる時」と云うのは、
頂点の y 座標が マイナスで、x=0 のときの y の値も マイナス と云うことになります。
この2つの条件が揃えば、判別式＞0 も満足することになると思いますが。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/11 18:36

y = x^2 - 2ax + 2a^2 - 5　　　　①

のグラフを書きましょう。

y = x^2 - 2ax + 2a^2 - 5
　= (x - a)^2 + a^2 - 5　　　　　②
ですから
・下に凸の放物線
・頂点は (a, a^2 - 5)
・軸は x=a
ということが分かります。

まず、これが x 軸と2点で交わるためには、頂点が x 軸よりも下にある、つまり頂点の y 座標が負である必要があります。
つまり
　a^2 - 5 < 0　　　　　③
これは
　x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = 0
の二次方程式の
　判別式 D > 0
と同じであることは分かりますね？

つぎに、x 軸と交わる2点の x 座標が、一方は正、他方は負ということなので、①の y 切片が負である必要があります。
つまり
　2a^2 - 5 < 0　　　　④

④を満たす a は③も満たすので、a の満たすべき条件は
　2a^2 - 5 < 0
→　a^2 < 5/2
よって
　-√(5/2) < a < √(5/2)