sin91°ってどーやって求めるんですか？

sin91°ってどーやって求めるんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/02/14 18:14

三角関数の意味を理解していれば解けますよ。

「数値を求めよ」という設問であれば、設問に三角関数表の一部があるはずです。
その表を見ながら答えればいい。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/14 19:46

0°,30°,45°,60°,90°の sin, cos は知っていますね？

あと加法定理があれば、sin91°の値は計算できます。
かなり面倒くさいけども。

sin91°= sin(1°+90°) = -cos1° ですから、
cos1° を求めて行きます。

30°,45°,60°の三角比は、三角定規の直角三角形から判りました。
今回の計算には、正五角形から出てくる 36°の三角比も使います。

θ=36°と置くと、5θ=180°なので、3θ = 180° - 2θ より
cos(3θ) = cos(180°-2θ)。
右辺 = -cos(2θ) = 1 - 2(cosθ)^2　は、倍角公式どおり。
左辺 = 4(cosθ)^3 - 3cosθ　は、三倍角公式を暗記してもいいし、
加法定理を使って　cos(3θ) = cos(2θ)cosθ - sin(2θ)sinθ
= {2(cosθ)^2 - 1}cosθ - {2sinθcosθ}sinθ
= {2(cosθ)^2 - 1}cosθ - 2cosθ{1 - (cosθ)^2}
= 4(cosθ)^3 - 3cosθ　と導出してもいい。
ともかく、これで x = cos36° が三次方程式
4x^3 - 3x = 1 - 2x^2 の解であることが判りました。

この方程式は、x = -1 が解であることにすぐ気づけるので、
0 = 4x^3 + 2x^2 - 3x -1 = (x + 1)(4x^2 - 2x - 1).
二次方程式 4x^2 - 2x - 1 = 0 は、解公式で解きます。
x = (1±√5)/4. 出てきた 3個の解のうちどれが cos36°かは
0 < cos36°< 1 から判ります。 cos36°= (1+√5)/4 です。

36°と 30°から半角公式を使って、
cos18°= √{(1 + cos36°)/2} = √(5+√5)/2√2,
sin18°= √{(1 - cos36°)/2} = (√5-1)/4,
cos15°= √{(1 + cos30°)/2} = (1+√3)/2√2,
sin15°= √{(1 - cos30°)/2} = (√3-1)/2√2　です。
半角公式は覚えなくても、倍角公式
cos(2θ) = 2(cosθ)^2 - 1 = 1 - 2(sinθ)^2 を逆に解いて　
|cosθ| = √{(1 + cos(2θ))/2},
|sinθ| = √{(1 - cos(2θ))/2}　と計算できます。

ここでまた加法定理を使って、
cos3°= cos(18°-15°)
= (cos18°)(cos15°) - (sin18°)(sin15°)
= (1/8){(1+√3)√(5+√5) - (√3-1)(√5-1)/√2}.

そろそろ息切れと眩暈を感じ始めましたが、
もう少し頑張りましょう。また三倍角公式を使って、
x = cos1° は 4x^3 - 3x = cos3° の解です。

今度の三次方程式は、cos36°のときほど簡単ではありません。
カルダノ法という三次方程式の一般解法を使ってみます。

x = u + v と置くと、上の式は
cos3°= 4(u+v)^3 - 3(u+v) = 4(u^3 + v^3) - 3(u+v)(uv + 1)
と変形できて、
u^3 + v^3 = (cos3°)/4,
uv = -1　のとき式が満たされます。
これを
u^3 + v^3 = (cos3°)/4,
(u^3)(v^3) = (-1)^3　と見ると
y = u^3, v^3 が二次方程式 y^2 - {(cos3°)/4}y + (-1) = 0
の解だということです。

二次方程式を解公式で解いて、
y = { (cos3°)/4 ± √{((cos3°)/4)^2 - 4(-1)} }/2
= (1/64){ (1+√3)√(5+√5) - (√3-1)(√5-1)/√2
　± √{2^14 + {(1+√3)(√(5+√5)) - (√3-1)(√5-1)/√2}^2} }.
もう、検算する気もまったく起こりませんが、
2個の実数解は得られました。これを y = A, B とします。
x = u + v で y = u^3, v^3 でしたから、
x = (Aの3乗根) + (Bの3乗根) と判ります。

最初の問題に戻って、
sin91°= -cos1° = -{(Aの3乗根) + (Bの3乗根)} が答えです。
A, B を代入して書き下すと、どえらい式になりますね。
方針は単純だが、計算が大変だというべきか、
計算は大変だが、方針は単純だというべきか。

この回答へのお礼

ほんとにありがとうございます！！助かりました！

お礼日時：2019/02/14 19:48