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数II

1の三乗根のうち、虚数であるものの1つをωとするとき、ω^2019の値を求めよ。という問題なのですが、計算方法と答えを教えてください。

A 回答 (3件)

前提として、1の3乗根をωとすると、ωの二乗+ω+1=0、ω³=1です。

よって、ωの2019乗=(ω³)の673乗=1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2019/02/21 18:52

まあ、正解は既に出ているのだけど、一般的なやり方を書いておきます。


(与えられた問題では 2019 が「3の倍数」なので「1」になりますが、べき乗が「3の倍数」でない場合は下記のようになります)

複素数を極性式で書けば、n を任意の整数として
 1 = cos(2nパイ) + i・sin(2nパイ)
であり、この3乗根は
 cos[(2/3)nパイ] + i・sin[(2/3)nパイ]
ということなので、「虚数であるものの1つをωとする」ということは、「n が3の倍数でないとき」に
 ω = cos[(2/3)nパイ] + i・sin[(2/3)nパイ]
ということです。

従って
 ω^k = cos[(2/3)knパイ] + i・sin[(2/3)knパイ]

k=2019 であれば
 ω^2019 = cos[(2/3)・2019nパイ] + i・sin[(2/3)・2019nパイ]
     = cos[2・673nパイ] + i・sin[2・673nパイ]
     = cos[2パイ] + i・sin[2パイ]
     = 1
になります。

もし k=2018 であれば
 ω^2018 = cos[(4036/3)nパイ] + i・sin[(4036/3)nパイ]
     = cos[(1346 - 2/3)nパイ] + i・sin[(1346 - 2/3)nパイ]
     = cos[(-2/3)nパイ] + i・sin[(-2/3)nパイ]
なので、m を任意の整数として n = 3m + 1 のとき
 ω^2018 = cos[(-2/3)パイ] + i・sin[(-2/3)パイ] = -1/2 - i√3 /2
n = 3m - 1 のとき
 ω^2018 = cos[(2/3)パイ] + i・sin[(2/3)パイ] = -1/2 + i√3 /2
になります。
つまり
 ω^2018 = -1/2 + i√3 /2 または ω^2018 = -1/2 - i√3 /2
です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2019/02/21 18:53

「1の三乗根のうち、虚数であるものの1つをω」は、ω³=1 と云う事です。


2019=3x673 ですから、ω^2019=(ω³)^673=1^673=1 。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2019/02/21 18:53

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