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テイラー展開はどんなxの値でも成り立つのでしょうか?

A 回答 (3件)

テイラー展開が可能であるためには条件があります。


・関数が解析関数であること
・xがテイラー展開の中心aに対して収束半径内にあること
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べき級数には、収束円というものがあって、その内部では級数が収束、


外部では級数が発散します。収束円周上の各点での収束/発散を
判定するのは難しいです。収束円の半径は、収束半径といって、
Σ[k=0→∞](c_k)(x - a)^2 に対して
lim[k→∞] |(c_k)/(c_{k+1})| や limsup[k→∞] |c_k|^(-1/n) として
計算されます。

テイラー展開が成立するのは、展開中心 a に対して
|x - a| が収束半径より小さい場合だけです。
関数によっては、無限回微分可能であっても、
収束半径が 0 になってしまい テイラー展開が意味を持たない
ような例もあります。
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テイラー展開が出来る条件が揃っていれば、


どんな値でも 成り立つと思いますよ。
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フーリエ変換をすることにより、株価などの非周期関数のようなものも解析できますか?

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フーリエ解析では、計測期間全体の中での特徴となるので、
株価の推移を時系列的に分析するには無理があります。
時間的な推移と株価変動の関連が同時に把握する必要があるので、
ウェーブレット変換のほうが向いていると思います。

ただし、
ウェーブレット変換の結果をよりフーリエ変換的に表現しなおして
特徴を調べると、フーリエ変換そのものよりも分かりやすくなるときが有ります。
これには、カオス理論の話が必要になります。
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実際、JFEの溶鉱炉の近くの騒音を解析するときに、
カオス理論とウェーブレットを組み合わせて使ったら、
極めて明確な結論を得ることが出来ました。

これ以上具体的に書くと、
商売の宣伝になってしまうので、このくらいにしておきます。

フーリエ解析では、計測期間全体の中での特徴となるので、
株価の推移を時系列的に分析するには無理があります。
時間的な推移と株価変動の関連が同時に把握する必要があるので、
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Q論文

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きちんとしてると思いますか?

1:最小公倍数
aとbの最小公倍数を(a,b),aとbとcの最小公倍数を(a,b,c)などと表記することにする。
(a,b,c)=1 (aとbとcが互いに素)だとすると,
次の性質が成立する
法則1-a: (ab,c)=(a,c)(b,c)
法則1-b: (a,bc)=(a,b)(a,c)
以下、このことを証明する。

法則1-a,法則1-bの証明:
aとb,bとc,cとaの最小公倍数をそれぞれa´,b´,c´とする。
(a,b,c)=1から、a=pa´c´,b=qa´b´,c=rb´c´((p,q)=1,(q,r)=1,(r,p)=1,a´≠b´,b´≠c´,c´≠a´,(a´,r)=1等)と表せる。
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以下関数f(x)についてその逆関数をrevf(x)と表記する。
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関数f(x)に次の法則が成り立つ
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法則2-b: revf(f(x))=x
法則2-c: revrevf(x)=f(x)
法則2-d: d revf/d x (x)=1/(d f/d x (revf(x))) (ただし分母は0ではないとき)
法則2-e: ∫revf(x)dx=xrevf(x)- ∫f(x) d x (revf(x))
これらの法則を証明する。

法則2-a,b,c,d,eの証明:
法則2-aはf(x)=yとすると
逆関数の定義から
x=revf(y)となり
f(x)=yに代入すると
法則2-aが証明される
法則2-bは
y=revf(x)と置き,法則2-aと同等な動作をすることで
証明される
法則2-cは逆関数の定義から明らかである
法則2-dはf(revf(x))の導関数を二通りに計算することで得られる
法則2-dはx=f(t)と置いて置換積分し,法則2-bを適用して更に部分積分することで得られる
3:商
商において次の定理が成立する
法則3-a:aがn≦t≦mをみたす整数tで割り切れるとき,商はa/m以上a/n以下
特にn=(2+a)/2,m=a-1の時
法則2-b:aはa/2<t<aをみたす整数tで割り切れない
証明を記す
法則3-a,bの証明:
まずaはtで割り切れるので、商をQとすると
a=Qt
となる
これに不等式を代入すると
Qn≦a≦Qmとなり,それぞれの不等式を商について解くと
法則3-aが得られる
またn=(2+a)/2,m=a-1の場合
tが整数であることからa/2<t<aとなる
先ほどと同様に割り切れる条件に不等式を解くと次の結果が得られる
1<商<2
しかしこれは商が整数であることに矛盾するので
背理法によって法則2-bが示された
4:行列
2次正方行列A1,A2,…,Anが存在し,それらの逆行列および実数(複素数でもよい)a,b,c,d,…を係数として足し合わせたものの逆行列を仮定して任意の行列Pの行列式をdetP,逆行列をP^-1とすると次が成り立つ

法則4-a:det(aA1+bA2+…)(aA1+bA2+…)^-1=adet(A1)(A1)^-1+bdet(A2)(A2)^-1+…
つまり、detA・A^-1は線形性をもつことがわかる
法則4-aの証明
Akを適当に文字を設定し、具体的な行列にしてから左辺と右辺を計算していけば証明される


以上の論文、もう一度聞きますがきちんとした論文ですか?

数学の論文を書きました
以下、すべて自分がワードに書いたもののコピペしたものです
きちんとしてると思いますか?

1:最小公倍数
aとbの最小公倍数を(a,b),aとbとcの最小公倍数を(a,b,c)などと表記することにする。
(a,b,c)=1 (aとbとcが互いに素)だとすると,
次の性質が成立する
法則1-a: (ab,c)=(a,c)(b,c)
法則1-b: (a,bc)=(a,b)(a,c)
以下、このことを証明する。

法則1-a,法則1-bの証明:
aとb,bとc,cとaの最小公倍数をそれぞれa´,b´,c´とする。
(a,b,c)=1から、a=pa´c´,b=qa´b´,c=rb´c´((p,q)...続きを読む

Aベストアンサー

互いに 素の、
最小公約数なら、

(ab,c)も、(a,bc)も、
abc.、

他方、
(a.c)は ac
('a,a)は ab
(a,c)(a,b)は ac×ab=(a^2)bc


未だ 読んでないですが、
抑もから 違いませんか?

Q逆数和の発散

調和級数や素数の逆数和は発散することが証明されてますが
合成数の逆数和は発散するのでしょうか

Aベストアンサー

偶数の逆数和は調和級数の1/2ですので当然発散します。(Σ[k:自然数]1/(2k)=(1/2)Σ[k:自然数] 1/k

合成数の逆数和は当然偶数の逆数和-1/2よりも大きいので(2以外の偶数は全て合成数)、合成数の逆数和は発散します。

Qとある数式の展開または変換に関して教えてください。

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に伏在している(著者には当たり前すぎて説明が省略されている?)数式展開上の、あるいは変換上の手法が何なのか、教えていただけるとありがたいです。

y=a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x ----- (1)
=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt} ----- (2)
a/η-1=a/(η-1) ----- (3)
a=η(1-η) ----- (4)

(参考)以下は(1)=(2)をいちいち愚直に展開して(3)にいたる様子です。
a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt}
c=(b-x/η)*e^-ηt
a(x/η+c)-x=a{x/(η-1)+c}
a(x/η+c)-a{x/(η-1)+c} =x
ax/η+ac-ax/(η-1)-ac=x
{a/η-a/(η-1)}x=x
a/η-a/(η-1)=1
a/η-1=a/(η-1)

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に...続きを読む

Aベストアンサー

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
(2)式は
  y/a + x/(η(1-η)) = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
となる。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
ということは、おそらく
  Θ(t) = b e^(-ηt)
なのでしょう。「組織の大きさΘ」なるものは、時間とともにどんんどん小さくなっていく。また、
> 消費エネルギーEc=y  〔cは添字〕
> 組織供給エネルギーEθ=x  〔θは添字〕
はそれぞれ関数E( )を使って E(c)、E(θ)と書けましょう。これらがエネルギーなら単位は[J]です。また、
>  ηは組織維持エネルギー係数、tは時間
なので、tの単位をたとえば秒[s]とすると、ηの単位は[1/s]です。(η-1)という部分でηから1を引き算するってことは、この”1”の方にも単位[1/s]が付いている、ということを意味します。単位をたとえば[1/分]([1/minute)]に変えれば1は1/60に書き換えねばならない。なんだか変な感じですが、ま、そういう式が出てくることもなくはないかな。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
時間の関数Θ( )を考えれば、Θ(0)=bとなりましょう。その単位は [Js] です。
>  α(β-1)=a  〔αは取込みエネルギー係数、βはエネルギー変換効率〕
の単位は[1/s]でなくてはなりません。
なので、おそらく
  (η/a)(E(c) + E(θ)) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (1)
  (η/a)E(c) + E(θ)/(1 - η) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (2)
というのが、もうちょっと自然な表式でしょうね。
 この右辺は(1),(2)どちらも同じで、E(θ)という上限に向かって飽和していく時定数(1/η)[s]の指数関数と、0に向かって漸減していく同じ時定数の指数関数との和の形をしている。ちなみに(1),(2)の共通の右辺の単位はエネルギー[J]なので、意味ありげです。これを
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と書いてtで微分すると
  f’ = η(E(θ)-ηb) e^(-ηt)
なので
  f = E(θ) - f’/η
という微分方程式を満たしていることがわかります。てことは結局
  f = E(θ) - f’/η
  f = (η/a)E(c) + (η/a)E(θ)
  f = (η/a)E(c) + (1/(1 - η))E(θ)
という3本の式(同じエネルギーfを3通りに説明できる、ということ)がこの話の要点じゃないかな、と推察します。が、いや、どういう文脈で出てくるどういう話なのか、さっぱりわからんですね。

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
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であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/...続きを読む

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Qあなたは数学が得意ですか?

あなたは数学が得意ですか?

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物理でいえば、代表的なものは下記でしょうか。

・複素関数:交流電気の電流、電圧の関係。コイル(誘導性リアクタンス)、コンデンサ(容量性リアクタンス)などによる「位相」の関係を、複素関数を用いて扱うと簡潔に取り扱うことができます。
↓ 参考サイト
http://www.kairo-nyumon.com/electric_circuits.html
https://eleking.net/study/s-accircuit/

・周回積分、閉路積分:一番典型的なのは電磁気の「アンペールの法則」(電流と磁力線の関係)でしょうか。磁力線にそって周回積分すると、その中を通る電流に等しくなるというものです。(もちろん、単位のとり方によってはその「定数倍」になりますが)
↓ 参考サイト
http://www2.yamanashi-ken.ac.jp/~itoyo/lecture/electromagnetic/em-chap02/em-chap02.htm
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k4housoku/ampeareeq.htm


・「周回積分、閉路積分」が「線」(1次元)に沿った積分であるのに対して、これを2次元にした「面積分」というものもあります。
この代表的な適用例が「ガウスの法則」で、電磁気の「電荷と電場」など、広範囲に威力を発揮します。「面積分」は、その面を貫通する「電気力線」などを数えあげることに相当します。
↓ 参考サイト
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
http://physics.thick.jp/Electromagnetics/Section1/1-22.html

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