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高校入試での数学についての質問です!
数学のテストは最後の方に難しめの問題出てきます。
その時に解ける時はあっさり解けてしまうのですが、解けない時はどうやって答えまでの道筋がまったくわからないような状況になってしまいます。
塾で定石?(円が二つあるなら中心同士を結んでみるといいみたいなやつです)のようなものを少し習ったのでドンピシャでそれが出てくると解けるようにはなりましたがほかに定石があるなら知っておきたいと思ったので中学数学の範囲内で定石のようなものをご存知でしたら教えてください!

A 回答 (6件)

定石なんていうのはありませんが、すぐにはわからない問題を解く場合の方策としては、


図形の問題であれば、

まずは図形を描いてみて、補助線を引いてみる(対角線や平行線や垂線や接線や二等分線など)
質問にある円の中心同士を結んでみるというのもその一つです。

ほかには、任意の○○(たとえば、任意の三角形ABCなど)と問題にある場合には、
あらゆる三角形に対して考えなくてはならないのですが、まずは都合の良さそうな図形で考えてみる。
たとえば任意の三角形とあれば、正三角形や二等辺三角形や直角三角形などで考えてみます。
それで解けたとすれば、その解法を拡張して全ての三角形に対しての解き方を考えてみる。

余談ですが、問題には直接は書かれていない条件が隠れていないかを考える必要もあります。
特に中学の数学で気をつけるのは三角形の三辺の長さが3:4:5の場合です。
この場合、三角形は直角三角形になります。(3^2+4^2=5^2です。)
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中学でも高校でも解法のパターンはあると思います。

でも それは、自分で問題を多く
解いて獲得するものです。中学までは、それで殆ど解けるでしょう!
でも、高校からは、それにプラスして、色々な解き方を考え解いて身につけないと
タイムオーバーになるからです。
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あらゆるパターンを経験し、悩んで繰り返す。


これしか無いんですよ。安易な近道は有りません。
でも中学数学のパターンは高校数学に比べればゴミですよ。
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定石を暗記しただけで溶ける問題は、初歩的な基本問題だけだ と思った方が良いです。


なんでそうなるかを 理解しないと、難しめの問題は 答えが出ないと思います。
それを解決するのは、沢山の問題に挑戦することが 早道だと思います。
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定石? そんなものないなぁ。

敢えて言えば、中学の範囲の数学の全てが定石。
なので、中学の範囲の数学を全て理解し、納得し、記憶し、かつ、問題練習をたくさんこなす、ということだけ。
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定石といえば、


(1)問題文をちゃんと読む。
(2)可能なら、図を書く。
(3)真面目に考える。
くらいですかねえ。
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V=(1/6)|(VectorA×VectorB)・VectorC| (×:外積、・:内積、| |:絶対値)

になります。
あとは、外積、内積を展開すれば、四面体の体積Vを(x0,y0,z0), (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3)で表すことができます。

問題に書かれている行列は、余因子展開を用いて展開することができます。
書くのが大変なので、詳しくは以下のサイトを参照して下さい。

https://risalc.info/src/determinant-four-by-four.html

これを計算すると、四面体の体積Vと等しくなります。

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前の質問の補足にもなりますが、√23のルートを外すには計算機に頼るか、開閉の筆算をするという方法などがあります。
でも筆算(機械に頼らない方法)はそのやり方自体複雑でマスターするのに手間がかかるかと思います。
そのような理由があるからなのか、高校で√23のルートを外す方法を教えている所は少ないと思います.。
ですので、
√23=4.○○○○○・・・ 
とうように小数部分は曖昧に書かせていただきました。
ちなみに、計算機によると√23=4.79583152 になるようです。
これを手で(筆算で)計算するとなると非常に面倒です。
また、暗記するのもナンセンス。
けれども
4<√23<5・・・①から
その整数部分は4であることは簡単に分かるのです。
4=4.000000・・・(以下どこまでも0が続く)
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ですから4<√23(4より√23の方が大きい)なら
√23は4.00000・・・01以上であるわけです。・・・(A)
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√23=5.●●●・・・●(●には0から9までのいずれかの数字が入る) では前記同様に考えて①に不適合なのです。
√23<5(√23より5の方が大きい)なら
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画像の問題の場合も同様に考えられます。
2<√6<3・・・② であることを突き止める方法はマスターされたと思います。
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2.0000・・・01以上、2.99999・・・9以下ということになりますからその小数部分ははっきり分からずとも
整数部分は2ということは分かるのです。
(ちなみに、 √2≒1.41421356・・・ひとよひとよにひとみごろ
√3≒1.7320508・・・ひとなみにおごれや
√5≒2.2360679・・・ふじさんろくおーむなく
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√7≒2.64575・・・  なにむしいない
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前の質問の補足にもなりますが、√23のルートを外すには計算機に頼るか、開閉の筆算をするという方法などがあります。
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そのような理由があるからなのか、高校で√23のルートを外す方法を教えている所は少ないと思います.。
ですので、
√23=4.○○○○○・・・ 
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でも ルートの中に mがずっといます。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

9m^2-72√m ≧0  
9( m^2-8√m) ≧0   (1)

m>0より式(1)は


 m^2≧8√m


両辺を2乗して

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両辺をmで割って

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具体的にどのような問題なのかわからないので「この問題は諦めるしかない、解かなくていい」かどうかは判断できない.

もっといえば
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解像度的に、依然として見難いのですが。
問題文も一部スキャンされてないしね。

a1 = (4 4 3 4)^T,
a2 = (3 0 1 1)^T
が張る K^4 の部分線型空間を W とし、
W の直交補空間の基底を一組求めよ
という問題ですかね?
答えは、< (-4 -5 12 0)^T (-1 -2 0 3)^T >
でしょうか。(^T は行列の転置を表しています)

写真の答案は、説明が全く不十分ですね。
答えは合ってるけど。

a1^T, a2^T を行として並べた行列を A と置き、
掃き出し法で、A に行基本変形を施して
左側の成分を単位行列と同じ形にすると、写真のように
1  0  1/3  1/3
0  1  5/12  2/3
となります。この行列を B と置いて、
A の直交補空間 { x | Ax=0 } と
B の直交補空間 { x | Bx=0 } は同じ空間です。
A から B への行基本変形 E を B = EA 置いて、
E が正則なことから Ax=0 ⇔ EAx=0 だからです。

Bx=0 となる一次独立な x を求めれば
答えになるのですが、写真の答案は
その工程を省略してしまっているのです。
肝心なところなのにね。

B(p q r s)^T=0 を成分で書くと
p = (-1/3)r + (-1/3)s,
q = (-5/12)r + (-2/3)s
となっているので、適当な r,s を代入して
(p q r s) が見つかればよいわけです。
W が2次元なので、一次独立なものが
4-2 個あればいいですね。

分母が払えるようにうまい r,s を見繕って、
r=12, s=0 に対して p=-4, q=-5、
r=0, s=3 に対して p=-1, q=-2。

解像度的に、依然として見難いのですが。
問題文も一部スキャンされてないしね。

a1 = (4 4 3 4)^T,
a2 = (3 0 1 1)^T
が張る K^4 の部分線型空間を W とし、
W の直交補空間の基底を一組求めよ
という問題ですかね?
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でしょうか。(^T は行列の転置を表しています)

写真の答案は、説明が全く不十分ですね。
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Qとある数式の展開または変換に関して教えてください。

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に伏在している(著者には当たり前すぎて説明が省略されている?)数式展開上の、あるいは変換上の手法が何なのか、教えていただけるとありがたいです。

y=a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x ----- (1)
=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt} ----- (2)
a/η-1=a/(η-1) ----- (3)
a=η(1-η) ----- (4)

(参考)以下は(1)=(2)をいちいち愚直に展開して(3)にいたる様子です。
a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt}
c=(b-x/η)*e^-ηt
a(x/η+c)-x=a{x/(η-1)+c}
a(x/η+c)-a{x/(η-1)+c} =x
ax/η+ac-ax/(η-1)-ac=x
{a/η-a/(η-1)}x=x
a/η-a/(η-1)=1
a/η-1=a/(η-1)

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に...続きを読む

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No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
(2)式は
  y/a + x/(η(1-η)) = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
となる。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
ということは、おそらく
  Θ(t) = b e^(-ηt)
なのでしょう。「組織の大きさΘ」なるものは、時間とともにどんんどん小さくなっていく。また、
> 消費エネルギーEc=y  〔cは添字〕
> 組織供給エネルギーEθ=x  〔θは添字〕
はそれぞれ関数E( )を使って E(c)、E(θ)と書けましょう。これらがエネルギーなら単位は[J]です。また、
>  ηは組織維持エネルギー係数、tは時間
なので、tの単位をたとえば秒[s]とすると、ηの単位は[1/s]です。(η-1)という部分でηから1を引き算するってことは、この”1”の方にも単位[1/s]が付いている、ということを意味します。単位をたとえば[1/分]([1/minute)]に変えれば1は1/60に書き換えねばならない。なんだか変な感じですが、ま、そういう式が出てくることもなくはないかな。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
時間の関数Θ( )を考えれば、Θ(0)=bとなりましょう。その単位は [Js] です。
>  α(β-1)=a  〔αは取込みエネルギー係数、βはエネルギー変換効率〕
の単位は[1/s]でなくてはなりません。
なので、おそらく
  (η/a)(E(c) + E(θ)) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (1)
  (η/a)E(c) + E(θ)/(1 - η) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (2)
というのが、もうちょっと自然な表式でしょうね。
 この右辺は(1),(2)どちらも同じで、E(θ)という上限に向かって飽和していく時定数(1/η)[s]の指数関数と、0に向かって漸減していく同じ時定数の指数関数との和の形をしている。ちなみに(1),(2)の共通の右辺の単位はエネルギー[J]なので、意味ありげです。これを
  f(t) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηb e^(-ηt)
と書いてtで微分すると
  f’ = η(E(θ)-ηb) e^(-ηt)
なので
  f = E(θ) - f’/η
という微分方程式を満たしていることがわかります。てことは結局
  f = E(θ) - f’/η
  f = (η/a)E(c) + (η/a)E(θ)
  f = (η/a)E(c) + (1/(1 - η))E(θ)
という3本の式(同じエネルギーfを3通りに説明できる、ということ)がこの話の要点じゃないかな、と推察します。が、いや、どういう文脈で出てくるどういう話なのか、さっぱりわからんですね。

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/...続きを読む

Q僕の回答なのですがこれでは点は貰えませんでしょうか? 厳密でない気がします 採点よろしくお願い致しま

僕の回答なのですがこれでは点は貰えませんでしょうか?
厳密でない気がします
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解き方わかりません〜
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一応、答えを...

(1)
AA^t = E, |A| = 1 が成り立ち、回転です。
固有値は 1, (-8±i√17)/9 で、
1 に対する固有ベクトルは
A(3 2 2)^t = 1(3 2 2)^t と採れます。
回転軸は (3 2 2)^t、
回転角 θ は cosθ = -8/9, sinθ = (√17)/9 となる角です。

(2)
AA^t = E, |A| = 1 が成り立ち、回転です。
固有値は 1, (-1±i2√2)/3 で、
1 に対する固有ベクトルは
A(1 1 0)^t = 1(1 1 0)^t と採れます。
回転軸は (1 1 0)^t、
回転角 θ は cosθ = -1/3, sinθ = 2(√2)/3 となる角です。

(3)
AA^t =
 (11/27 -8/27 1/27)
 (-8/27 1   0  )
 (1/27  0   1  ) ≠ E です。回転ではない。

(4)
AA^t = E, |A| = 1 が成り立ち、回転です。
固有値は 1, -1±i0 で、
1 に対する固有ベクトルは
A(3 1 2)^t = 1(3 1 2)^t と採れます。
回転軸は (3 1 2)^t、
回転角 θ は cosθ = -1, sinθ = 0 より θ = π です。

AA^t = E, |A| = -1 となる例が出題されてない
のが、残念でしたね。

一応、答えを...

(1)
AA^t = E, |A| = 1 が成り立ち、回転です。
固有値は 1, (-8±i√17)/9 で、
1 に対する固有ベクトルは
A(3 2 2)^t = 1(3 2 2)^t と採れます。
回転軸は (3 2 2)^t、
回転角 θ は cosθ = -8/9, sinθ = (√17)/9 となる角です。

(2)
AA^t = E, |A| = 1 が成り立ち、回転です。
固有値は 1, (-1±i2√2)/3 で、
1 に対する固有ベクトルは
A(1 1 0)^t = 1(1 1 0)^t と採れます。
回転軸は (1 1 0)^t、
回転角 θ は cosθ = -1/3, sinθ = 2(√2)/3 となる角です。

(3)
AA^t =
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