出産前後の痔にはご注意!

P(x)を(x+1)²で割ると2x+3余り,(x-1)²で割ると3x-2余る。
このとき,P(x)を(x+1)²(x-1)で割ったあまりを求めよ。

解法を教えてください。
余りをax²+bx+cと置くのはわかるけどそこからまったく方針がわかりません。

質問者からの補足コメント

  • 微分とかはわかりません。

      補足日時:2019/02/17 20:45
  • うーん・・・

    >それならax^2+bx+cを(x+1)^2で割れば2x+3余りますよね。

    なんで余りを(x+1)^2で割って2x+3余りになるんですか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/02/17 23:14

A 回答 (2件)

P(x)=(x+1)²(x-1)Q1+ax^2+bx+c


としたんでしょ。それなら
ax^2+bx+cを(x+1)^2で割れば2x+3余りますよね。
P(x)=(x+1)^2・(x-1)Q1+a(x+1)^2+2x+3
P(x)=(x-1)^2・Q2+3x-2
ここでx=1とすればQ1, Q2なんて消えちゃうんで気にすることはなく
a(x+1)^2+2x+3=3x-2
4a+2+3=3-2
a=-1
余りは
-1(x+1)^2+2x+3
=-x^2-2x-1+2x+3
=-x^2+2
この回答への補足あり
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>P(x)を(x+1)²で割ると2x+3余り


でしょ。
P(x)=(x+1)²(x-1)Q1+ax^2+bx+c
とすれば"ax^2"とまだxの2乗があるのだからax^2+bx+cはa(x+1)^2で割れます。その余りが問題から2x+3です。
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相似より、
(√2:) √2:x=(x/2:) x/2:√2
∴ √2:x= x/2 :√2
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a^2+√2*b=b^2+√2*a=√3 のとき、b/a+a/bの値を求めよ
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a^2+(√2)b + { b^2+(√2)a } = 2√3. …[2]

[1] を整理して、
(a-b)(a+b-√2) = 0. …[1']
[2] を整理して、
(a^2+b^2)+(√2)(a+b) = 2√3. …[2']

[1'] から a = b または a+b = √2 だが、

a = b のとき、
b/a+a/b = 1 + 1 = 2.

a+b = √2 のとき、[2'] から
a^2+b^2 = 2√3 - (√2)(a+b)
= 2√3 - (√2)√2
= 2√3 - 2,
ab = (1/2){ (a+b)^2 - (a^2+b^2) }
= (1/2){ (√2)^2 - (2√3 - 2) }
= 2 - √3.
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Q【至急】大学数学1年レベルの問題がわからないので教えて頂けるとたすかります

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集合 X から Y への写像 f が
単射であるとは、f(X) の任意の元 y に対して f(x)=y となる X の元 x が1個であること。
全射であるとは、値域 f(X) が 後域 Y と一致すること。
全単射であるとは、全射かつ単射であることです。全単射は、X と Y の一対一対応です。

1. 全単射。
この範囲で cos は単調減少ですから、f(x)=y となる x は各 y に対して1個です。
単調減少なので値域は [f(π/2),f(0)] ですが、これは [0,1] ですね。

2. 単射だが全射でない。
単射であることは、1.のとおりです。
f(X) = [0,1], Y = [-1,1] であり、一致しません。

3. 全射だが単射ではない。
y=f(x) のとき、x は yx^2-x+y=0 の解です。-1/2≦y≦1/2 であれば
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読み取った問題
[条件]
サイコロで3以上なら右(x座標+1)に、2以下なら上(y座標+1)に進む
最初は原点にいる
[問題]
(1) 1回で(1,0)の確率、(0,1)の確率
(2) 3回で(3,0)の確率、(2,1)の確率
(3) 4回で色付きの四角形の1辺だけを通る確率
(4) 5回で色付きの2辺を通る確率、1辺だけを通る確率
(5) 5回で(3,2)にいるとき色付きの2辺を通った条件付き確率

[基礎知識]
サイコロは6面、1回で3以上の確率(2/3)、2以下の確率(1/3)
1回の確率pがn回中k回起こる確率は (nCk)*(p^k)*((1-p)^(n-k))
事象Bが起こったという条件の中で事象Aが起こっている条件付き確率P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
 (事象AとBが同時に起こる確率/事象Bが起こる確率)

[解答の考え方(一例)]
(1)
(1,0) は1回で3以上が出た、(0,1)は1回で2以下が出た
(2)
(3,0)は3回とも3以上 (3C3)*((2/3)^3)*((1/3)^0)
(2,1)は3以上が2回、2以下が1回 (3C2)*((2/3)^2)*((1/3)^1)
(3)
3回で(2,1)にいたときのみ4回目で辺を通る
(4)
2辺を通るのは3回で(2,1)にいて4回目5回目で辺を通る場合
1辺だけ通るのは
 a) 3回で(3,0)⇒5回で(3,2)
 b) 3回で(2,1)⇒5回で(4,1)
 c) 3回で(2,1)⇒5回で(2,3)
 d) 3回で(1,2)⇒5回で(3,2) なのでそれぞれ計算して合計すれば良い
(5)
基礎知識で説明したP(B)は5回で(3,2)、つまり5回中3回3以上が出る確率
P(A∩B) は上で計算済の5回で色付きの2辺を通る確率(2辺を通るときは必ず5回で(3,2))

細かい部分の読み取りが違っていたら補足などで訂正お願いします

読み取った問題
[条件]
サイコロで3以上なら右(x座標+1)に、2以下なら上(y座標+1)に進む
最初は原点にいる
[問題]
(1) 1回で(1,0)の確率、(0,1)の確率
(2) 3回で(3,0)の確率、(2,1)の確率
(3) 4回で色付きの四角形の1辺だけを通る確率
(4) 5回で色付きの2辺を通る確率、1辺だけを通る確率
(5) 5回で(3,2)にいるとき色付きの2辺を通った条件付き確率

[基礎知識]
サイコロは6面、1回で3以上の確率(2/3)、2以下の確率(1/3)
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Qこの問題おしえてくれるかた、1問だけでもいいのでおしえてください!よろしくお願いします!

この問題おしえてくれるかた、1問だけでもいいのでおしえてください!よろしくお願いします!

Aベストアンサー

整数n(n≧0)に対して、αn=(1+i)ⁿとおく。また、n≧1に対して、βn=αn-αn-1
とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
(2) ③から
argβn= arg(iαⁿ⁻¹)= arg(i)+ arg(αⁿ⁻¹)= arg(i)+ (n-1)arg(α)
=π/2+ (n-1)π/4__⑤ (度で表せば90(1+(n-1)/2) °)
 arg(i)=π/2 (90°)と②を使った。
(3) ④から
|β1|+|β2|+・・・+|βn|は初項a=1、公比r=√2の等比級数であるから、
その和Sは、公式S=a(rⁿ-1)/(r-1)により
S=|β1|+|β2|+・・・+|βn|=(√2ⁿ-1)/(√2-1)__⑥となる。
S= (√2ⁿ-1)/(√2-1)>1000の条件は
S≒√2ⁿ/(√2-1)≒1000 と近似して
logS=log(√2ⁿ/(√2-1))=(n/2)log2-log(√2-1)=log1000 
n=2(log1000+ log(√2-1))/log2=2log(414.21)/0.3010=17.388__⑦
n=17のとき√2ⁿ=256√2となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=871.6<1000
n=18のとき√2ⁿ=512となり、⑥はS=(√2ⁿ-1)/(√2-1)=511/0.4142
=1233.7>1000
答え18
高校では偏角はラジアンを使う。度は使わない。

整数n(n≧0)に対して、αn=(1+i)ⁿとおく。また、n≧1に対して、βn=αn-αn-1
とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2__①、argα=π/4__②である。 (argα=π/4は度で表せば45°)
(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)-1) =iαⁿ⁻¹__③
③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
(2) ③から
argβn= ar...続きを読む

Qとある数式の展開または変換に関して教えてください。

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に伏在している(著者には当たり前すぎて説明が省略されている?)数式展開上の、あるいは変換上の手法が何なのか、教えていただけるとありがたいです。

y=a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x ----- (1)
=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt} ----- (2)
a/η-1=a/(η-1) ----- (3)
a=η(1-η) ----- (4)

(参考)以下は(1)=(2)をいちいち愚直に展開して(3)にいたる様子です。
a{x/η+(b-x/η)*e^-ηt}-x=a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^-ηt}
c=(b-x/η)*e^-ηt
a(x/η+c)-x=a{x/(η-1)+c}
a(x/η+c)-a{x/(η-1)+c} =x
ax/η+ac-ax/(η-1)-ac=x
{a/η-a/(η-1)}x=x
a/η-a/(η-1)=1
a/η-1=a/(η-1)

とある数式を多用した本(数理経済学の本)を読んでいますが、どうしても分らない箇所があるので教えてください。
具体的には、下記(1)の数式が(2)に変換する際の途中の展開がわからないので、根っこから理解することができないでいます。
数式(1)と(2)の要素を細かくみていったら、(3)の等式が根底にあることがわかったので(4)まではたどりついたのですが、けっきょくのところ(数IIIの入り口程度の数学力しかない私には)それ以上の根本的な理解にはたどりつけそうにありません。
なので、(1)=(2)または(3)に...続きを読む

Aベストアンサー

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
(2)式は
  y/a + x/(η(1-η)) = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
となる。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
ということは、おそらく
  Θ(t) = b e^(-ηt)
なのでしょう。「組織の大きさΘ」なるものは、時間とともにどんんどん小さくなっていく。また、
> 消費エネルギーEc=y  〔cは添字〕
> 組織供給エネルギーEθ=x  〔θは添字〕
はそれぞれ関数E( )を使って E(c)、E(θ)と書けましょう。これらがエネルギーなら単位は[J]です。また、
>  ηは組織維持エネルギー係数、tは時間
なので、tの単位をたとえば秒[s]とすると、ηの単位は[1/s]です。(η-1)という部分でηから1を引き算するってことは、この”1”の方にも単位[1/s]が付いている、ということを意味します。単位をたとえば[1/分]([1/minute)]に変えれば1は1/60に書き換えねばならない。なんだか変な感じですが、ま、そういう式が出てくることもなくはないかな。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
時間の関数Θ( )を考えれば、Θ(0)=bとなりましょう。その単位は [Js] です。
>  α(β-1)=a  〔αは取込みエネルギー係数、βはエネルギー変換効率〕
の単位は[1/s]でなくてはなりません。
なので、おそらく
  (η/a)(E(c) + E(θ)) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (1)
  (η/a)E(c) + E(θ)/(1 - η) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηΘ(t) ----- (2)
というのが、もうちょっと自然な表式でしょうね。
 この右辺は(1),(2)どちらも同じで、E(θ)という上限に向かって飽和していく時定数(1/η)[s]の指数関数と、0に向かって漸減していく同じ時定数の指数関数との和の形をしている。ちなみに(1),(2)の共通の右辺の単位はエネルギー[J]なので、意味ありげです。これを
  f(t) = E(θ)(1 - e^(-ηt)) + ηb e^(-ηt)
と書いてtで微分すると
  f’ = η(E(θ)-ηb) e^(-ηt)
なので
  f = E(θ) - f’/η
という微分方程式を満たしていることがわかります。てことは結局
  f = E(θ) - f’/η
  f = (η/a)E(c) + (η/a)E(θ)
  f = (η/a)E(c) + (1/(1 - η))E(θ)
という3本の式(同じエネルギーfを3通りに説明できる、ということ)がこの話の要点じゃないかな、と推察します。が、いや、どういう文脈で出てくるどういう話なのか、さっぱりわからんですね。

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
  (y + x)/a = (x/...続きを読む

Q中2数学の問題で分からない所か有るので教えて下さい。 中2数学のワークを解いていた所、次のような問題

中2数学の問題で分からない所か有るので教えて下さい。


中2数学のワークを解いていた所、次のような問題が出題されました。


【問題】

数字1,2,3,4を1つずつ書いた箱がそれぞれ1箱と、
数字1,2,3,4を1つずつ書いたカードがそれぞれ1枚ある。この4枚のカードをよくきって、4つの箱にカードを1枚ずつ入れる。このとき、箱の数字とカードの数字が全て異なる確率を求めなさい。


という問題です。

中学2年生の基礎として出題されましたが、
この問題、本当に基礎でしょうか。

3
僕が解いた所、答えは ー
4

となりましたが、間違いでした。


この問題が解ける方が居ましたら、
答えと解き方を書いて頂けると嬉しいです。 


模範解答は、後で補足に画像添付します。

回答宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

これは、手間はかかりますがレベルとしては基礎です。
樹形図でも、画像のような形式でも良いので箱に入れるカードの組み合わせを全て書き出すのが基本です
箱① 箱2 箱3 箱④
1  2  3  4
1  2  4  3
1  3  2  4
1  3  4  2
1  4  2  3
1  4  3  2
2  1  3  4
と言うように書き出すのです。
書き方は1段目のように箱とカードの数をそろえてからスタート
2段目では箱3のカードの数を1つ上げる、残ったカード3が箱4に入る
3段目でも箱3のカードの数を1つ上げるのですが、これ以上あげられないので代わりに箱2のカードの数を1つ上げます。
残りのカード2枚のうち低い数のカードを箱3に入れる、残ったカードを箱4に入れる
4段目では、再び箱3のカードの数を1つあげるのだがカード3は既に使われているので、3はパスして4に上げます
すると箱④は残りのカード2が来ます。
以下この要領で、箱3の数を1つ上げる、
箱3の数を上げることが無理なら箱2のカードを1つ大きい数にする
それも無理なら箱1のカードを1つ大きい数にする。
カードの数を上げたら、カードがまだ入っていない箱には、左から順に残りのカードを数字が低い順に入れる
次の段では箱3のカードを1つ大きい数に上げる
無理なら前に述べたことの繰り返し・・・
と言う手順で上のような表や、樹形図を完成させましょう
すると全部で24通りになります。
このうち箱とカードの数が異なる物を数えれば9通りなので
確率は9/24=3/8 がもとまります

ちなみにイメージを働かせ計算を活用すれば表を全て完成させるまでもなく、表作成の途中から規則性を見抜き24通りを計算で求めることもできます。
その計算の例としては、上の表が完成した段階で、箱1にカード1が入るなら
箱2から4に入るカードは3つで、表を数えればその方法は6通り
箱1に、カード2が入るときも3が入るときも4がはいるときも、箱2~4に入るカードが3つと言う状況は変わらないので、それぞれの場合も6通りずつ とイメージできるはず!
従って全部で6x4=24と言う計算ができます。

あとはカードと箱の番号が異なる(・・・①)という条件を調べるだけ!
上の表のように箱1にカード1と言うのは、条件に合いませんから数える必要なし
ということで箱1にカード2が入る場合で条件①をクリアしている物を調べ上げます!
上の表を書いた時と同じ要領で 箱1=カード2 のときの表を完成させ、その中から条件①にあうものを探します!
または箱1=カード2のとき
箱2=1か3か4
箱3=4か1
箱4=3か1ですから
この中からもれなく条件①にあう組み合わせを考えるという事でも良いです!
するとそれは模範解答のよう3通りになります
箱1=3、箱1=カード4 のときも状況は同じはずですから条件に合うものは3通りずつです
従って条件①に合うのは全部で3Ⅹ3=9と言う計算ができます
こうして24通りと9通りを求めることもできます!

これは、手間はかかりますがレベルとしては基礎です。
樹形図でも、画像のような形式でも良いので箱に入れるカードの組み合わせを全て書き出すのが基本です
箱① 箱2 箱3 箱④
1  2  3  4
1  2  4  3
1  3  2  4
1  3  4  2
1  4  2  3
1  4  3  2
2  1  3  4
と言うように書き出すのです。
書き方は1段目のように箱とカードの数をそろえてからスタート
2段目では箱3のカードの数を1つ上げる、残ったカード3が箱4に入る
3段目でも箱...続きを読む

Q数Ⅱ 剰余の定理

整式P(x)をx-1,x-2,x-3で割った余りがそれぞれ2,5,8である。
P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)で割った余りを求めよ。

剰余の定理でP(1)=2,P(2)=5,P(3)=8になることはわかりますが
その先どう解けばいいのかわからないです。
解法を教えてください。

Aベストアンサー

P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+axの二乗+bx+cと置く。(axの二乗+bx+cは余りを表している)
これにx=1、2、3を代入して、それらを解く


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