組み立て除法 因数見つけ方

2x⁴+x³+x²+14x+12
この式を因数分解します。
組み立て除法でx+1を因数に持つことまではわかったのですが、
2x+3を因数に持つということをどうやって考えればいいのかわからないです。

組み立て除法での因数の見つけ方があったら教えてください。
他の解法でもいいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/23 20:57

組立除法を用いて2x^4 + x^3 + x^2 + 14x + 12をx+1で除算すると、

2 1 1 14 12 (-1)
===========
2 -2 1 -2 -12
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 -1 2 12 0 ←商の係数

これより、商は2x^3 - x^2 + 2x +12になります。
商は三次式なので、因数定理から地道にxに値を代入して見つけていくしかありません。
x=-3/2とき0になるので、組立除法を用いると、

2 -1 2 12 (-3/2)
=========
2 -3 6 -12
↓ ↓ ↓ ↓
2 -4 8 0

これより、商は2x^2 - 4x + 8になります。
これは(x+3/2)のときの商なので、割る数を2倍した(2x+3)だと、係数が半分のx^2 - 2x + 4が商になります。

x^2 - 2x + 4は実数で因数分解できないので、求める因数分解の式は、

2x^4 + x^3 + x^2 + 14x + 12=(x+1)(2x+3)(x^2 - 2x + 4)

になります。

複素数（虚数）も範囲に含めて良いのなら、x^2 - 2x + 4に解の公式を適用して、
x=(2±√(2^2 - 4×1×4))/2=(2±√12i)/2=(2±2√3i)/2=1±√3i

2x^4 + x^3 + x^2 + 14x + 12=(x+1)(2x+3)(x-1-√3i)(x-1+√3i)
（i:虚数単位）

になります。

この回答へのお礼

＞これより、商は2x^2 - 4x + 8になります。
＞これは(x+3/2)のときの商なので、割る数を2倍した(2x+3)だと、係数が半分のx^2 - 2x + 4が商になります。
この部分もわからなかったのでありがたいです＞＜
回答ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/23 21:19

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/23 20:42

整数係数の多項式 (a_0) + (a_1)x + (a_2)x^2 + … + (a_n)x^n が

一次式 c+bx を因数に持つならば、c は a_0 の約数、b は a_n の約数
であることが知られています。
a_0 と a_n を素因数分解して、可能な組み合わせを総当りすれば、
見つかるものは見つかることになります。