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Rの部分集合Aに対し、
f(x)={0(x∈A).1(x∈R\A)} とおく。
A={-1,0,1}の時、fが[-1.1]でリーマン積分可能か。

この問題について、最大リーマン和と最小リーマン和が一致するからリーマン積分可能と証明したいのですが、どのように分割するのが正しいのでしょうか。
[-1,0][0.1]とかで場合分けは必要ですか?

又、Aが有理数全体の集合にかわったときはどのようにリーマン積分不可能を示せば良いのでしょうか。

A 回答 (1件)

Rの部分集合Aに対し、


f(x)={0(x∈A).1(x∈R-A)} とおく
A={-1,0,1}の時、
-1≦x≦1の時f(x)≦1だから(最大リーマン和は)
∫[-1,1]f(x)dx≦∫[-1,1]1dx=1-(-1)=2…(1)

-1<x<0の時f(x)=1だから
0<x<1の時f(x)=1だから
2<nを2より大きい自然数とすると
∫[-1+1/n,-1/n]1dx+∫[1/n,1-1/n]1dx≦∫[-1,1]f(x)dx
1-2/n+1-2/n≦∫[-1,1]f(x)dx
2-4/n≦∫[-1,1]f(x)dx
n→∞とすると
lim{n→∞}2-4/n≦∫[-1,1]f(x)dx
2≦∫[-1,1]f(x)dx
↓これ(最小リーマン和)と(1)から
2≦∫[-1,1]f(x)dx≦2

∫[-1,1]f(x)dx=2
リーマン積分可能

Aが有理数全体の集合にかわったときは
最大リーマン和は2
どんなに細かい区間に分割しても
その区間に必ず有理数が含まれる稠密性から
最小リーマン和は0
となるので一致しないから積分不可能
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株価の推移を時系列的に分析するには無理があります。
時間的な推移と株価変動の関連が同時に把握する必要があるので、
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ウェーブレット変換の結果をよりフーリエ変換的に表現しなおして
特徴を調べると、フーリエ変換そのものよりも分かりやすくなるときが有ります。
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実際、JFEの溶鉱炉の近くの騒音を解析するときに、
カオス理論とウェーブレットを組み合わせて使ったら、
極めて明確な結論を得ることが出来ました。

これ以上具体的に書くと、
商売の宣伝になってしまうので、このくらいにしておきます。

フーリエ解析では、計測期間全体の中での特徴となるので、
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No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
  y = a{x/η+(b-x/η)*e^(-ηt)}-x ----- (1)
  y = a{x/(η-1)+(b-x/η)*e^(-ηt)} ----- (2)
であれば不自然じゃないですね。(1)式は
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(2)式は
  y/a + x/(η(1-η)) = (x/η)(1 - e^(-ηt)) + b e^(-ηt)
となる。
> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
ということは、おそらく
  Θ(t) = b e^(-ηt)
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> (組織の大きさΘがt=0のとき)Θ0=b  〔Θ0の0は添字〕
時間の関数Θ( )を考えれば、Θ(0)=bとなりましょう。その単位は [Js] です。
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  f = (η/a)E(c) + (η/a)E(θ)
  f = (η/a)E(c) + (1/(1 - η))E(θ)
という3本の式(同じエネルギーfを3通りに説明できる、ということ)がこの話の要点じゃないかな、と推察します。が、いや、どういう文脈で出てくるどういう話なのか、さっぱりわからんですね。

No.1のコメントについてです。
> 「こいつアホか!」という情緒的反応

いいえ、そんなこたーありません。そう思ったら回答しませんからね。No.1の説明が恐ろしくクドいのは、どこで躓いていらっしゃるかがはっきりしないため、大抵の場合に対応できるように、と配慮したからです。

“—— (1)”だの”y=“が不自然だという話については、もしご質問が連立方程式
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↓ 参考サイト
http://www.kairo-nyumon.com/electric_circuits.html
https://eleking.net/study/s-accircuit/

・周回積分、閉路積分:一番典型的なのは電磁気の「アンペールの法則」(電流と磁力線の関係)でしょうか。磁力線にそって周回積分すると、その中を通る電流に等しくなるというものです。(もちろん、単位のとり方によってはその「定数倍」になりますが)
↓ 参考サイト
http://www2.yamanashi-ken.ac.jp/~itoyo/lecture/electromagnetic/em-chap02/em-chap02.htm
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k4housoku/ampeareeq.htm


・「周回積分、閉路積分」が「線」(1次元)に沿った積分であるのに対して、これを2次元にした「面積分」というものもあります。
この代表的な適用例が「ガウスの法則」で、電磁気の「電荷と電場」など、広範囲に威力を発揮します。「面積分」は、その面を貫通する「電気力線」などを数えあげることに相当します。
↓ 参考サイト
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
http://physics.thick.jp/Electromagnetics/Section1/1-22.html

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↓ 参考サイト
http://www.kairo-nyumon.com/electric_circuits.html
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