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数学
問題になると場合分けの範囲が異なるのはどうしてですか

「数学 問題になると場合分けの範囲が異なる」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 分かったような、分かってないような感じです

    ポイントのような範囲は、問題のどこをどのように見て決めたのですか

      補足日時:2019/02/26 19:25

A 回答 (5件)

基本は5パターンに分けた方が楽だと思いますよ



下の問題では分子を
r^n(r^n+1)と変換
|r|>1の時はn→∞で|r^n|>>1
なので、分子はr^n *r^n=r^2nと近似できる
じゃあ、分子も分母も関係するのは(r^2)^nなのだから、r^2の時点で±は関係なくなる
よって、r>1とr<1をひとまとめにできる

ここまで考えるぐらいなら、その2つを場合分けした方が早いです…
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lim r^n を考えるときと


lim {r^(2n) + r^n}/{r^(2n) + 2} を考えるときで違う
ってだけのことですけどね。
問題集のページをパラパラ見ていて、
あっちの問題は a<1, 1≦a<2, a≧2 で場合分けしたのに
こっちの問題は a≦10, a>10 で場合分けしているのはなぜだ!
とは言わないでしょう? 全然別の問題なんだから。

どっちも r^(なんとか) が出てくることを気にしているなら、
両方共通に r<-1, r=-1, -1<r<1. r=1, r>1 で場合分け
してもいいです。いくつかの場合の結果が合流しますが、
それで間違いが発生するわけではありません。
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もちろん


|r|<1、r=1、r=-1、r<-1、r>1にわけて考えたらいいんだけど、
r<-1、r>1の場合はこの問題の極限値が同じ 1 だから
|r|>1の場合とひとまとめにしている。
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そこが問題。

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両方で、文字で表わした「r」の中身が違うからです。



同じ文字であっても、同じものを表わしているわけではありません。
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とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β1|+|β2|+・・・+|βn|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α1=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
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(1) βn=αn-αn-1= (1+i)ⁿ-(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ-αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α-1)
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③から|βn |=|iαⁿ⁻¹ |=|i|・|αⁿ⁻¹ |=1・√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ __④  ①を使った。
(2) ③から
argβn= arg(iαⁿ⁻¹)= arg(i)+ arg(αⁿ⁻¹)= arg(i)+ (n-1)arg(α)
=π/2+ (n-1)π/4__⑤ (度で表せば90(1+(n-1)/2) °)
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(3) ④から
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Rのy座標はQのy座標と同じだから
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とできる
RはOR上にあるので
(sinα)/x=tanθ
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長方形PQRSの面積は
f(α)=|QR||PQ|
↓|PQ|=2sinα
↓|QR|=cosα-x
↓だから
f(α)=(cosα-x)(2sinα)
f(α)=2sinαcosα-2xsinα
↓x=(sinα)/tanθだから
f(α)=2sinαcosα-{2(sinα)^2}/tanθ
↓sin(2α)=2sinαcosα
↓1-cos(2α)=2(sinα)^2
↓だから
f(α)=sin(2α)+{cos(2α)-1}/tanθ
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f(α)=[cos(2α)cosθ+sin(2α)sinθ-cosθ]/sinθ
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↓cos(2α-θ)≦1だから
f(α)={cos(2α-θ)-cosθ}/sinθ≦{1-cosθ}/sinθ
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=
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↓|QR|=cosα-x
↓|PQ|=2sinα
cosα-x=2sinα
↓x=sinα/tanθ
cosα-sinα/tanθ=2sinα
cosα-cosθsinα/sinθ=2sinα
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sin(θ-α)=2sinαsinθ
↓α=θ/2
sin(θ/2)=2sin(θ/2)sinθ
↓両辺を2sin(θ/2)≠0で割り左右を入れ替えると
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Q=(cosα,sinα)
A=(cosθ,sinθ)
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(sinα)/x=tanθ
x=(sinα)/tanθ
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f(α)=|QR||PQ|
↓|PQ|=2sinα
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f(α)=2sinαcosα-2xsinα
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点Cのx座標をtとすると、以下のようなことがわかる。
点Cのy座標はat^2
点Fのx座標は(3/2)t、y座標は(9/4)at^2 →BC:EF=2:3より
点mの座標は(0、at^2) →点mのy座標=点Cのy座標
点nの座標は(0、(9/4)at^2) →点nのy座標=点Hのy座標=点Fのy座標・・・①
点Hの座標は((1/2)t、at^2+(√3)・t/2 ) →mC:AC:Am=1:2:√3 かつ On=Om(=点Cのy座標)+mn(=Amの半分)より。・・・②

ここで、点Hのy座標に注目して、①と②を比較すると、
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これを解いて、a=(2√3)/(5t) なる式が導かれる。

(1) BC=2cmのとき、aの値を求めなさい。
添付ファイルの左を参照のこと。
これは、t=1の時なので、上記の式に代入する。
答え:a=(2√3)/5

(2)添付ファイルの右を参照のこと。
a=(2√3)/(5t)なる関係があるので、a=√3/5であれば、t=2である。
①BCの長さ=2t=4 答え:4cm
②証明は省略するが、実はこの図形は緑色の小さい正三角形が集まった図形である。そして、当該図形にはこの緑色の小さい三角形は12個ある。だから、半分の6個になることになる。例えば、直線CRで2分割した場合は右上:左下=5:7の面積比になる。
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①でBC=4cmと求まったので、Qのx座標は-2、Rのx座標は-1なので、Sのx座標は-4/3 答え:-4/3
----------------
②は、小さい緑の三角形で区切られることに気づくかどうかで解答できるかどうかが決まるような気がする。

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点nの座標は(0、(9/4)at^2) →点nのy座標=点Hのy座標=点Fのy座標・・・①
点Hの座標は((1/2)t、at^2+(√3)・t/2 ) →mC:AC:Am=1:2:√3 かつ On=Om(=点Cのy座標)+mn(=Amの半分)より。・・・②

ここで、点Hのy座標...続きを読む

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t→0のときe^tは1に近づくので分子は0に近づきますよね。
分母は無論0に近づきます
従って、囲み部分は0/0に近づきます!
ここで仮に●/●が
・分子は0に近づき、分母が0以外の数字の例えば1に近づくケースでは、0/1に近づくことになるので全体として0に近づくことになります
・反対に分母が0、分子が1に近づくなら1/0に近づくことになります。
このとき、1/●=1÷●の●部分が0に近づくと、割る数が小さくなるので1/●全体としては(絶対値が)ドンドン大きくなることになります。つまり1/0=+∞または-∞
このように●/●の形で、分子を0に近づけることは●/●を0に近づける効果を持ち、
反対に分母を0に近づけることは●/●を∞(-∞)に近づける効果を持ちます。
従って0/0のケースでは、0に近づける効果と∞(-∞)に近づける効果が競り合う事になり、容易に極限が求められないのです。このとき極限は、0に近づける効果の方が強いのか、それとも∞に近づける効果の方が強いのか、
という2者の力関係によって異なってくるのです。
この0/0のような形を不定型と言いこのままでは極限が定まりません。(極限を求めるには式変形などの工夫が必要となります)
だから、あなたが囲みが0に近づくと思っているのは間違いで、短絡的という事です。

よく見ると、囲み部分は「微分係数の定義の式」の形をしていますので本問はこれを利用できます
f(t)=e^tとおくと
微分係数の定義(参考書、教科書などで確認してみてください)より
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画像ではこれに-の符号が付け加わるので
Lim[t→0]-(e^t-1)/t=-f'(0)=-1となりますよ^-^

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・分子は0に近づき、分母が0以外の数字の例えば1に近づくケースでは、0/1に近づくことになるので全体として0に近づくことになります
・反対に分母が0、分子が1に近づくなら1/0に近づくことになります。
このとき、1/●=1÷●の●部分が0に近づくと、割る数が小さくなるので1/●全体としては(絶対値が)ドンドン大きくなることになります。つまり1/0=+∞または-∞
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2xyを移行してみてください
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