2の(4) 教えてください！ すごく急いでます！！お願いします！

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No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/28 22:21

f(x) が α≦x≦β で一様連続、すなわち

任意の正数 ε に対して正数 δ が存在して、
α≦y≦β の範囲の y について
|x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε が成立するとする。

区間[α,β] を
α = x[0] < x[1] < x[2] < … < x[n] = β と分割して、
各小区間で x[k-1] < c[k] < x[k] なる c[k] を採る。
S = Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])f(c[k]) とし、
max{x[k]-x[k-1]} → 0 のときの S の極限が、
リーマン積分 ∫[α,β]f(x)dx の定義である。

f(x) は各小区間 x[k-1]≦ x ≦ x[k] で連続なので、
この閉区間での最大値M[k] と最小値m[k] を持つ。
m[k] ≦ f(c[k]) ≦ M[k] より、
Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])m[k] ≦ S ≦ Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])M[k] である。　←[*1]

f(x) の一様連続より、任意の正数 ε に対して
|x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε
となる正数 δ が存在する。　←[*2]
この δ に対して max{x[k]-x[k-1]} < δ であるように
S を構成すれば、x[k-1] ≦ x,y ≦ x[k] について
-ε < f(x) - f(y) < ε である。f(x) - f(y) の値域より、
各 k について -ε ≦ M[k] - m[k] ≦ εが成り立つ。

これを使って、
0 = Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])M[k] - Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])m[k]
= Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])(M[k] - m[k])
≦ Σ[k=1..n](x[k] - x[k-1])ε
= (β-α)ε　←[*3]
である。ε は任意の正数であったから、
limΣ[k=1..n](x[k] - x[k-1])M[k] = limΣ[k=1..n](x[k] - x[k-1])m[k]
が示せたことになる。
[*1]のハサミウチによって、S も収束する。

[*2]で δ が各小区間に共通の値だったことによって、
[*3]で ε を Σ の外へ括り出すことができた。
以上の議論に f(x) の一様連続性は不可欠であるが、
f(x) を閉区間 [α,β] で連続と仮定すれば
一様連続であることは導ける。