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理想気体の状態方程式PV/T=nRと導けた後、標準状態以外でもRが定数となる理由を説明、証明が出来ないかと思いました。

質問者からの補足コメント

  • あのちなみに、1molからn molになる際に、
    PV=TRからPV=nTRと置けるのは何故でしょうか?

      補足日時:2019/03/07 06:44

A 回答 (7件)

No.4投稿のつづき


あのちなみに、1molからn molになる際に、
PV=TRからPV=nTRと置けるのは何故でしょうか?>

(2) 気体運動論とエネルギー等分配則の説明で、式⑩から式⑪を導く追加説明
PV=RT__⑩
さらに、物質量を1モルからn倍して、nモルとすると⑪となる。
PV=nRT__⑪
追加説明:
1モルの式⑩から体積Vを求めると、V=RT/P__⑫ である。
従って、気体1モルを体積Vの箱に押し込むと、圧力はちょうどPになる。
物質量を1モルからn倍して、nモルとするには、この気体の入った箱をn個作って並べる。すると、物質量はn倍になり、体積もn倍になり、全体のVは式⑫のn倍になるから
V=nRT/P__⑬
このn個の箱を、温度、圧力、体積を変えずに、全部つないで一つの箱にすると、
式⑬はそのまま成立する。⑬から⑪が出る。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
体積VはP,T,R全てをn倍したものであるため、13が成り立つとわかりました。
ちなみに、理想気体の状態方程式はどんな時に使うのでしょうか?
逆にどんな時に使えないのでしょうか?
個人的にはあくまで理想気であるため、使えない時はないと思うのですが。

お礼日時:2019/03/08 03:30

統計カ学というのは、ミクロな物体を支配する諸法則から、


マクロな物体の挙動を導く、偉大な工夫の固まり。

ちゃんと学ばないとわかりません。ここで数行で説明できるはずもないです。
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これ、100円だし kindle unlimited でも読めるよ。

(^^;

https://www.amazon.co.jp/高校物理-気体の分子運動論って意味不明という人に-大阪の家庭教師シリーズ-稲葉康裕-ebook/dp/B073M6PLJC
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理想気体の状態方程式PV/T=nRと導けた後、標準状態以外でもRが定数となる理由を説明、証明が出来ないか>



状態方程式PV/T=nR__① は、別名、ボイル・シャルルの法則といいます。(1)ボイルの法則とシャルルの法則を使えば証明できます。(2)気体運動論とエネルギー等分配則から説明できます。
(1)の説明
1、ボイルの法則は、状態1をP=P₁、V=V₁とし、状態2をP=P₂、V=V₂とし、温度はT₁=T₂で変わらないとすると、P₁V₁=P₂V₂__② という法則です。
2、シャルルの法則は、状態1をV=V₁、T=T₁とし、状態2をV=V₂、T=T₂とし、圧力はP₁=P₂で変わらないとすると、V₁/T₁=V₂/T₂__③ という法則です。
3、標準状態をP=P₀=1気圧=101.325 kPa、T=T₀=273.15ケルビンとする。このときn=1モルとすると、気体定数R=8.314 J K−¹ mol−¹式①により
P₀V₀/T₀=R__④
これからV₀を求めると、標準状態の体積は
V₀= R T₀/ P₀=8.314 J K−¹ mol−1×273.15K/101.325 kPa
=22.4J/ kPa =22.4L
物質量がnモルののとき、体積はn倍になるので
V₀= nR T₀/ P₀となり、④はP₀V₀/T₀=nR__⑤となる。
4、ボイルの法則②において、状態1を標準状態とし、状態2を、温度T₀は変えないで、圧力をP₀からP(任意の圧力)に変えると、体積がV₀からV₃に変わるとする。その時
P₁= P₀、P₂= P、V₁= V₀、V₂=V₃だからボイルの法則②により、P₀V₀= P V₃となる。これを⑤に入れるとP V₃/T₀=nR__⑥となる。
5、今度はシャルルの法則を使う。状態1を式⑥の状態とし、状態2を、圧力は変えないで、温度をT₀からT(任意の温度)に変えたとき、体積がVになったとすると、
V₁=V₃、T₁=T₀、V₂=V、T₂=T、であるから
シャルルの法則③によりV₃/T₀=V/Tとなる。
これを⑥に入れるとP V/T=nR__⑦となる。
これからP V =nRT__⑧の状態方程式①が出る。P,Tが任意圧力、任意温度について成り立つ。
(2) 気体運動論とエネルギー等分配則の説明
1、気体運動論
xyz方向の長さがLの立方体の箱の中に、質量mの1個の分子を入れた時の、箱の一つの面の圧力を計算します。分子は、箱の中を走っていて、xyz方向の速度はvx,vy,vzとする。
x方向だけを考えると、分子は、速度vxで距離Lを走って壁にぶつかり、
跳ね返って逆走し、これを繰り返す。跳ね返る時、運動量はmvxから-mvxに変わるので、差引き、2mvxの運動量変化があり、
分子が箱の中を往復する時間T=2L/vxごとに、この衝突が起きる。質量mの分子に、力Fが作用すると、ニュートンの運動方程式によりF=mα。力Fが時間tだけ作用すると、分子は加速されて、運動量変化Ft=mvが生じる。上記の衝突では、運動量変化2mvx=FTが時間T=2L/vxの間に起きるので、壁に衝突する力は、時間的に平均すると、
F=2mvx/T=2mvx/(2L/vx)=mvx²/Lとなる。壁の面積L²で割ると、平均の圧力は、
P= mv²/L³__②
体積V= L³とすると、ボイルの法則に近い式になる。
PV= mvx²__③
分子の運動エネルギーをE= mvx²/2__④ とすると
PV=2E__⑤
となる。
2、エネルギー等分配則
温度Tが高いと、分子が持つエネルギーは大きくなる。x方向の速度vxが持つ運動エネルギーEは温度Tに比例する。比例定数をk/2とすると
E=kT/2__⑥
これを⑤に入れると
PV= kT__⑦
V= L³だから
P= kT/ L³__⑧
質量の違う二つの分子が同じ温度のとき、分子の入った箱を接触させると、圧力Pが等しいとき、バランスする。二つの気体を混合した時も、同じ温度のとき、圧力Pが等しく、バランスする。これが熱平衡である。
分子が水素と酸素と違ってもよい。定数kは、分子の質量が違っても一定である。多数の分子がぶつかっているときも、温度が一定で圧力がバランスしていれば、
vx,vy,vzの持つ運動エネルギーは、平均として、すべて等しく、式⑥のE=kT/2になる。これをエネルギー等分配則という。
kをボルツマン定数という。1モルの気体の分子の数は、
アヴォガドロ数NA(Aは添え字)で、
NA=6.022140857×10²³ mol−¹である。1個の分子をNA個の分子に変えると、圧力はNA倍になるので、式⑦は⑨となる。NAk=Rとすると、⑩となる。
PV=NA kT__⑨
PV=RT__⑩
さらに、物質量を1モルからn倍して、nモルとすると⑪となる。
PV=nRT__⑪
これで理想気体の状態方程式またはボイルシャルルの法則が証明できた。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 06:35

数学以外の科学の式は、観測や測定結果を定式化したもの。



理論で導いた訳じゃ無く、自然界が「こういう式にすると、振舞いを記述できる」と言ってるだけ。

Rが定数となる理由は、自然界を観測すると、Rが定数になる様に振舞ってる、から。
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その「説明」とか「証明」とかいうのは, なにを前提にするの?

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Rが定数と定義しているのが理由では?

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「体積がVbからVに変わったとすると」というのは「体積がVbからVに変わったと仮定すると」という意味で、Vは未知数です。この未知数は、直後に書いてあるシャルルの法則から求められます。「シャルルの法則により、Vb/T0= V/Tとなる。これを⑧に入れると、式⑨となる。PV/T=nR__⑨」と書いてある。
シャルルの法則Vb/T0= V/T_⑩を式⑩と式番号をつけると、⑩からVbを求めて、
Vb=VT0/Tを⑧に入れると⑨になる。また、⑩からVを求めて、
V=VbT/T0を⑨に入れると⑧になる。
しかし、そんな計算をしなくても、⑩の左辺のVb/T0は式⑧の中にあるので、これを式⑩の右辺のV/Tに置き換えることができる。その結果は⑨となる。

また、もう一つ知りたいのですが、どうやって1molは分子の数6.0×10^23個と置けたのでしょうか?>

1molの分子の数はアヴォガドロ定数といい、NA(Aは添え字)の記号で表す。
正確に質量 0.012 kg(12 g)の炭素12(12C)の中に含まれている原子の総数で定義される。国際会議、2014CODATA(科学技術データ委員会)できめた推奨値は
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1、 問題の解き方
物質量nは1モルとすると
PV=b_① はボイルの法則です。
V/T=d_② はシャルルの法則です。この二つからボイル・シャルルの法則
PV/Tn=一定値=k_③
を導出できます。しかし、一定値=kをRにして、PV/Tn=R_④ とするには
アヴォガドロの法則が必要です。
2、アヴォガドロの法則を使う
標準状態の圧力をP0=一気圧= 101.325パスカル_⑤
標準状態の温度をT0=0℃=273.15ケルビン_⑥
とする。このとき、
アヴォガドロの法則では、n=1モル_⑦ の気体の体積は
V0=22.4リットル_⑧ になる。
式③に⑤⑥⑦⑧を入れると、kが計算できる。
P0V0/(T0×1)=一定値=k=101.325Pa×22.4L/273.15K
=8.31J K−¹ mol−¹=R _⑨
圧力P0、温度T0は変えないで、物質量をnモルにすると、体積V0はn倍になる。
この体積をV1=nV0_⑩とする。⑨の両辺をn倍すると⑪になる。
P0nV0/T0=nR_⑪
⑪に⑩を入れると⑫となる。
P0V1/T0=nR_⑫
3.ボイルの法則を使う
式⑫の状態から、温度T0と物質量nは変えないで、圧力をP0からPに変えた時、体積VはV0からV2に変わったとする。ここでPは任意の圧力、V2は未知数である。すると、ボイルの法則①により
P0V1=b=PV2_⑬が成立する。未知数V2はこの式から求められるので、もはや既知数である。式⑫P0V1/T0=nRのP0V1に⑬を代入すると⑭となる。
PV2/T0=nR_⑭
4.シャルルの法則を使う
式⑭の状態から、圧力Pと物質量nは変えないで、温度をT0からTに変えた時、体積はV2からVに変わったとする。ここでTは任意の温度、Vは未知数である。
すると、シャルルの法則V/T=d_②により
V2/T0=d=V/T_⑮が成立する。未知数Vはこの式から求められるので、もはや既知数である。式⑭のV2/T0に⑮を代入すると⑯となる。
PV/T=nR_⑯
任意の圧力P、任意の温度Tに対して式⑯が成立する。

1、 問題の解き方
物質量nは1モルとすると
PV=b_① はボイルの法則です。
V/T=d_② はシャルルの法則です。この二つからボイル・シャルルの法則
PV/Tn=一定値=k_③
を導出できます。しかし、一定値=kをRにして、PV/Tn=R_④ とするには
アヴォガドロの法則が必要です。
2、アヴォガドロの法則を使う
標準状態の圧力をP0=一気圧= 101.325パスカル_⑤
標準状態の温度をT0=0℃=273.15ケルビン_⑥
とする。このとき、
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作り方の過程を書いていただけると大変ありがたいです。

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等温変化で(P0,V0,T0)→(P1,V1',T0)と変化させる
  ボイルの法則より、P0・V0=P1・V1' ・・・①
定圧変化で(P1,V1',T0)→(P1,V1,T1)と変化させる
  シャルルの法則より、V1'/T0=V1/T1
    ∴V1'=V1・T0/T1
V1'を①式に代入して、P0・V0=P1・V1・T0/T1
    ∴P0・V0/T0=P1・V1/T1
ボイルの法則とシャルルの法則からボイルシャルルの法則を導くためには、
数学的式変形だけではなく、物理的状態変化を考える必要があります。

また、P/T=K を用いませんでしたが、この式はボイルの法則とシャルルの法則から数学的な計算だけで出てきます。
つまり、P/T=Kはボイルの法則とシャルルの法則を認める限り、独立した関係ではないので、使っても意味が無いんです。

それから、ボイルの法則、シャルルの法則、ボイルシャルルの法則には気体の物質量一定の条件がありますから
1mol の気体に対して PV/T=R としてRを求めれば、Rを式に導入できます。
n mol の場合にはnRとなる事は明かではないでしょうか。

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定圧変化で(P1,V1',T0)→(P1,V1,T1)と変化させる
  シャルルの法則より、V1'/T0=V1/T1
    ∴V1'=V1・T0/T1
V1'を①式に代入して、P0・V0=P1・V1・T0/T1
    ∴P0・V0/T0=P1・V1/T1
ボイルの法則とシャルルの法則からボイルシャルルの法則を導くためには、
数学的式変形だけではなく、物理的状態変化を考える必要があります。

また、P/T=K を用いませんでしたが、この式はボイルの法則とシャルルの法則から数...続きを読む

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>なぜ力積を時間に関して積分すると運動エネルギーを求める式が導けるのでしょうか?

導けません。そもそもカ積はベクトル量。それを時間積分しても
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