確率について。

次の、33,34がわかりません。教えていただけると幸いです。すみません。

質問者からの補足コメント

• 

  V(X)の2行後のところまでで、いいので、解説お願いできないでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/15 15:00

• 

  なぜ、E｛(EX )∧2｝=(EX)∧2となるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/16 07:28

• 

  ここで言う、定数とはなんでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/16 15:14

No.11 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/16 21:24

同じ数の平均は同じだから

(25/4)と(25/4)の平均は(25/4)
だから
です

No.12 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2019/03/16 22:52

> Xに関係しない定数とはどう言うことでしょうか？教えていただけると幸いです。

　ぶはははははははははははははははははははははははははははは
　はははははははははははははははははははははははははははは
　はははははははははははははははははははははははははははは
　はははははははははははははははははははははははははははは
　はははははははははははははははははははははははははははは
　はははははははははははははははははははははははははははは

> なぜ、定数(EX)∧2=25/4の平均は、25/4となるのでしょうか？教えていただけると幸いです。
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　確率変数 X がある確率分布に従うときの平均や分散の意味がわかっていないから、そんな戯けた質問をするのだ。
　ムダだとは思うが、どんな統計の参考書にも書いていることを書いておく。

> V(X) =E(X-EX)^2 =E(X^2)-(EX)^2

という表記は感心できないので、確率変数 X の平均は、曖昧さをなくすためにも E[X] と表現する。したがって上の式は

　V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2

となる。


　離散型確率変数 X がある確率分布 f(x) にしたがっている。つまり X が x1 から xn の値をとり、それに対応する確率が f(x1) から f(xn) であるとき、X の期待値（平均値）は
　　E[X] = ∑[i=1→n]xi*f(xi) ･････①
で定義される。言うまでもないが、
　　∑[i=1→n]f(xi) = 1
である。①より、たとえば X^2 の期待値は
　　E[X^2] = ∑[i=1→n](xi)^2*f(xi).

　さて、E[X] は定数だから μ= E[X] とおくと、分散 V[X] は
　　V[X] = ∑[i=1→n](xi-μ)^2*f(xi) ･････②
で定義される。①と②をじっくり見れば
　　V[X] = E[(X-μ)^2] = E[(X-E[X])^2] ･････③
と表現できる。

　②の右辺を展開すると
　　∑[i=1→n](xi)^2 - 2μxi + μ^2)f(xi)
　= ∑[i=1→n](xi)^2*f(xi) - ∑[i=1→n]2μxi*f(xi) + ∑[i=1→n]μ^2*f(xi)
　= E[X^2] - 2μE[X] + μ^2
　= E[X^2] - 2E[X]E[X] + (E[X])^2
　= E[X^2] - 2(E[X])^2 + (E[X])^2.

　　∴V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2.

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/16 15:34

Xは0,1,2,3,4,5と変わる変数だけれども

EXは
EX=5/2=定数
(EX)^2=25/4=定数
となる

この回答へのお礼

なぜ、定数(EX)∧2=25/4の平均は、25/4となるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/16 16:36

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/16 14:42

E(X-EX)^2

はXの分散の定義です

(X-EX)^2の平均
E(X-EX)^2を
Xの分散といい
V(X)=E(X-EX)^2
と定義する

Xの平均は
定数
EX
=(確率変数Xの平均)
=0*全部6以上の確率+1*(5以下1枚の確率)+2*(5以下2枚の確率)+3*(5以下3枚の確率)+4*(5以下4枚の確率)+5*(5以下5枚の確率)
=5/2

EX=5/2だから
(EX)^2=25/4も定数だから
定数(EX)^2=25/4の平均は
Xに関係しない定数(EX)^2=25/4だから
E{(EX)^2}=(EX)^2
となる

この回答へのお礼

Xに関係しない定数とはどう言うことでしょうか？教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/16 15:05

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/16 09:10

E(X-EX)^2

はXの分散の定義です

(X-EX)^2の平均
E(X-EX)^2を
Xの分散といい
V(X)=def=E(X-EX)^2
と定義する

Xの平均は定数EX=5/2だから
(EX)^2=25/4も定数だから
定数(EX)^2=25/4の平均は
Xに関係しない定数(EX)^2=25/4だから
E{(EX)^2}=(EX)^2=25/4
となる

この回答へのお礼

もう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。
V(X)=defの、def とはなんでしょうか？
後、Xの平均は、、、のところもわかりません。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/16 14:04

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/15 20:25

V(X)

=E(X-EX)^2
↓(X-EX)^2=X^2-2X(EX)+(EX)^2だから
=E{X^2-2X(EX)+(EX)^2}
↓分配則から
=E(X^2)-E{2X(EX)}+E{(EX)^2}
↓E{2X(EX)}=2{(EX)}^2
↓E{(EX)^2}=(EX)^2
↓だから
=E(X^2)-2(EX)^2+(EX)^2
=E(X^2)-(EX)^2
=0^2*全部6以上の確率+1^2*(5以下1枚の確率)+2^2*(5以下2枚の確率)+3^2*(5以下3枚の確率)+4^2*(5以下4枚の確率)+5^2*(5以下5枚の確率)-(EX)^2

確率変数Xの分散=(X^2の平均)-(Xの平均)^2
V(X)=E(X^2)-(EX)^2
である

この回答へのお礼

E(X-EX)∧2は、どこから出てきたのでしょうか？V(X)の、1行後です。
教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/16 07:24

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/13 11:37

Xの分散

V(X)
=E(X-EX)^2
=E(X^2)-(EX)^2
=0^2*全部6以上の確率+1^2*(5以下1枚の確率)+2^2*(5以下2枚の確率)+3^2*(5以下3枚の確率)+4^2*(5以下4枚の確率)+5^2*(5以下5枚の確率)-(EX)^2
=Σ_{k=1～5}k^2P(X=k)-25/4
=25/252+4*25/63+9*25/63+16*25/252+25/252-25/4
=25/36

この回答へのお礼

ここを、もう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。もう少し言葉を付け加えて、いただきたいのです。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/14 09:28

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/11 17:41

訂正します

34
(2)
E(X)
=0*全部6以上の確率+1*(5以下1枚の確率)+2*(5以下2枚の確率)+3*(5以下3枚の確率)+4*(5以下4枚の確率)+5*(5以下5枚の確率)
です

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/11 17:37

33

袋の中に1から7までの番号が書かれた球が7個入っている.
ここから同時に3個の球を取り出す.
取り出された3個の球に書かれている数を大きいものから順にX,Y,Zとする.
7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて,どの球も取り出される確率は,皆等しいものとする.

7個の球から3個取り出す場合の数は
7C3=7*6*5/(3*2)=35
通りだから

7≧X>Y>Z
X>Y>Z≧1
だから
最大は少なくとも3以上だから
3≦X≦7
中央値は少なくとも2以上多くとも6以下だから
2≦Y≦6
最小は多くとも5以下だから
1≦Z≦5

X=3の時
Y=2,Z=1の1通りだから
最大3である確率は
P(X=3)=1/(7C3)=1/35
X=4の時
1～3の中からY>Zの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
最大4である確率は
P(X=4)=3/(7C3)=3/35
X=5の時
1～4の中からY>Zの2つを選ぶ
4C2通りだから
最大5である確率は
P(X=5)=4C2/(7C3)=6/35
X=6の時
1～5の中からY>Zの2つを選ぶ
5C2通りだから
最大6である確率は
P(X=6)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
X=7の時
1～6の中からY>Zの2つを選ぶ
6C2通りだから
最大7である確率は
P(X=7)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
だから
Xの期待値
E(X)
=1*0+2*0+3*最大3である確率+4*最大4である確率+5*最大5である確率+6*最大6である確率+7*最大7である確率
=Σ_{k=3～7}kP(X=k)
=3/35+4*3/35+5*6/35+6*2/7+7*3/7
=6

Z=1の時
2～7の中からX>Yの2つを選ぶ
6C2通りだから
最小が1である確率は
P(Z=1)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
Z=2の時
3～7の中からX>Yの2つを選ぶ
5C2通りだから
最小が2である確率は
P(Z=2)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
Z=3の時
4～7の中からX>Yの2つを選ぶ
4C2通りだから
最小が3である確率は
P(Z=3)=4C2/(7C3)=6/35
Z=4の時
5～7の中からX>Yの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
最小が4である確率は
P(Z=4)=3/(7C3)=3/35
Z=5の時
X=7,Y=6の1通りだから
最小が5である確率は
P(Z=5)=1/(7C3)=1/35
だから
Zの期待値
E(Z)
=1*最小が1である確率+2*最小が2である確率+3*最小が3である確率+4*最小が4である確率+5*最小が5である確率
=Σ_{k=1～5}kP(Z=k)
=3/7+2*2/7+3*6/35+4*3/35+5/35
=2

Y=2の時
Z=1
3～7の中から1つXを選ぶ5通りだから
中が2である確率は
P(Y=2)=5/(7C3)=5/35=1/7
Y=3の時
4～7の中から1つXを選ぶ4通り
それぞれに対して
1,2のどちらかから1つZを選ぶ2通りだから
中が3である確率は
P(Y=3)=4*2/(7C3)=8/35
Y=4の時
5～7の中から1つXを選ぶ3通り
それぞれに対して
1～3の中から1つZを選ぶ3通りだから
中が4である確率は
P(Y=4)=3*3/(7C3)=9/35
Y=5の時
6,7のどちらかから1つXを選ぶ2通り
それぞれに対して
1～4の中から1つZを選ぶ4通りだから
中が5である確率は
P(Y=5)=2*4/(7C3)=8/35
Y=6の時
X=7
1～5の中から1つZを選ぶ5通りだから
中が6である確率は
P(Y=6)=5/(7C3)=5/35=1/7
だから
Yの期待値
E(Y)
=1*0+2*中が2である確率+3*中が3である確率+4*中が4である確率+5*中が5である確率+6*中が6である確率
=Σ_{k=2～6}kP(Y=k)
=2/7+3*8/35+4*9/35+5*8/35+6/7
=4

34.
1から10までの番号が書かれた札が1枚ずつある.
この10枚の札から無作為に5枚の札を取り出す.
このとき,取り出された札のうち,番号が5以下であるものの枚数をXとおく

10枚の札から5枚の札を取り出す場合の数は
10C5=10*9*8*7*6/(5*4*3*2)=9*4*7=252
通りだから

(1)
X=0の時
6,7,8,9,10の5枚を取り出す1通りだから
番号が5以下であるものが無い確率は
P(X=0)=1/(10C5)=5*4*3*2/(10*9*8*7*6)=1/252
X=1の時
1～5の5枚の中から1枚取り出す5通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から4枚取り出す5通りだから
番号が5以下であるものが1枚である確率は
P(X=1)=5*5/(10C5)=25/252
X=2の時
1～5の5枚の中から2枚取り出す5C2通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から3枚取り出す5C3通りだから
番号が5以下であるものが2枚である確率は
P(X=2)=5C2*5C3/(10C5)=100/252=25/63
X=3の時
1～5の5枚の中から3枚取り出す5C3通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から2枚取り出す5C2通りだから
番号が5以下であるものが3枚である確率は
P(X=3)=5C3*5C2/(10C5)=100/252=25/63
X=4の時
1～5の5枚の中から4枚取り出す5通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から1枚取り出す5通りだから
番号が5以下であるものが4枚である確率は
P(X=4)=5*5/(10C5)=25/252
X=5の時
1,2,3,4,5の5枚を取り出す1通りだから
番号が5以下であるものが5枚である確率は
P(X=5)=1/(10C5)=1/252
∴確率分布は
F(k)=P(X=k)=(5Ck)^2/252,(k=0,1,2,3,4,5)

(2)
E(X)
=0*全部6以上の確率+1*(5以下1枚の確率)+2*(5以下2枚の確率)+3*(5以下3枚の確率)+4*(5以下4枚の確率)+1*(5以下5枚の確率)
=Σ_{k=1～5}kP(X=k)
=25/252+2*25/63+3*25/63+4*25/252+5/252
=5/2

V(X)
=E(X-EX)^2
=E(X^2)-(EX)^2
=Σ_{k=1～5}k^2P(X=k)-25/4
=25/252+4*25/63+9*25/63+16*25/252+25/252-25/4
=25/36

この回答へのお礼

最後の、V(X)のところをもう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/12 15:08

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/07 03:37

33

袋の中に1から7までの番号が書かれた球が7個入っている.
ここから同時に3個の球を取り出す.
取り出された3個の球に書かれている数を大きいものから順にX,Y,Zとする.
7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて,どの球も取り出される確率は,皆等しいものとする.
7≧X>Y>Z
X>Y>Z≧1
だから
3≦X≦7
2≦Y≦6
1≦Z≦5

X=3の時
Y=2,Z=1の1通りだから
P(X=3)=1/(7C3)=1/35
X=4の時
1～3の中からY>Zの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
P(X=4)=3/(7C3)=3/35
X=5の時
1～4の中からY>Zの2つを選ぶ
4C2通りだから
P(X=5)=4C2/(7C3)=6/35
X=6の時
1～5の中からY>Zの2つを選ぶ
5C2通りだから
P(X=6)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
X=7の時
1～6の中からY>Zの2つを選ぶ
6C2通りだから
P(X=7)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
だから
Xの期待値
E(X)
=Σ_{k=3～7}kP(X=k)
=3/35+4*3/35+5*6/35+6*2/7+7*3/7
=6

Z=1の時
2～7の中からX>Yの2つを選ぶ
6C2通りだから
P(Z=1)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
Z=2の時
3～7の中からX>Yの2つを選ぶ
5C2通りだから
P(Z=2)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
Z=3の時
4～7の中からX>Yの2つを選ぶ
4C2通りだから
P(Z=3)=4C2/(7C3)=6/35
Z=4の時
5～7の中からX>Yの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
P(Z=4)=3/(7C3)=3/35
Z=5の時
X=7,Y=6の1通りだから
P(Z=5)=1/(7C3)=1/35
だから
Zの期待値
E(Z)
=Σ_{k=1～5}kP(Z=k)
=3/7+2*2/7+3*6/35+4*3/35+5/35
=2

Y=2の時
Z=1
3～7の中から1つXを選ぶ5通りだから
P(Y=2)=5/(7C3)=5/35=1/7
Y=3の時
4～7の中から1つXを選ぶ4通り
それぞれに対して
1,2のどちらかから1つZを選ぶ2通りだから
P(Y=3)=4*2/(7C3)=8/35
Y=4の時
5～7の中から1つXを選ぶ3通り
それぞれに対して
1～3の中から1つZを選ぶ3通りだから
P(Y=4)=3*3/(7C3)=9/35
Y=5の時
6,7のどちらかから1つXを選ぶ2通り
それぞれに対して
1～4の中から1つZを選ぶ4通りだから
P(Y=5)=2*4/(7C3)=8/35
Y=6の時
X=7
1～5の中から1つZを選ぶ5通りだから
P(Y=6)=5/(7C3)=5/35=1/7
だから
Yの期待値
E(Y)
=Σ_{k=2～6}kP(Y=k)
=2/7+3*8/35+4*9/35+5*8/35+6/7
=4

34.
1から10までの番号が書かれた札が1枚ずつある.
この10枚の札から無作為に5枚の札を取り出す.
このとき,取り出された札のうち,番号が5以下であるものの枚数をXとおく
(1)
X=0の時
6,7,8,9,10の5枚を取り出す1通りだから
P(X=0)=1/(10C5)=5*4*3*2/(10*9*8*7*6)=1/252
X=1の時
1～5の5枚の中から1枚取り出す5通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から4枚取り出す5通りだから
P(X=1)=5*5/(10C5)=25/252
X=2の時
1～5の5枚の中から2枚取り出す5C2通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から3枚取り出す5C3通りだから
P(X=2)=5C2*5C3/(10C5)=100/252=25/63
X=3の時
1～5の5枚の中から3枚取り出す5C3通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から2枚取り出す5C2通りだから
P(X=3)=5C3*5C2/(10C5)=100/252=25/63
X=4の時
1～5の5枚の中から4枚取り出す5通りそれぞれに対して
6～10の5枚の中から1枚取り出す5通りだから
P(X=4)=5*5/(10C5)=25/252
X=5の時
1,2,3,4,5の5枚を取り出す1通りだから
P(X=5)=1/(10C5)=1/252
∴確率分布は
F(k)=P(X=k)=(5Ck)^2/252,(k=0,1,2,3,4,5)

(2)
E(X)
=Σ_{k=1～5}kP(X=k)
=25/252+2*25/63+3*25/63+4*25/252+5/252
=5/2

V(X)
=E(X-EX)^2
=E(X^2)-(EX)^2
=Σ_{k=1～5}k^2P(X=k)-25/4
=25/252+4*25/63+9*25/63+16*25/252+25/252-25/4
=25/36

この回答へのお礼

もう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/11 15:34