数学2 高校2年 どう解いたらいいのかわかりません。 教えて下さい。

数学2 高校2年
どう解いたらいいのかわかりません。
教えて下さい。

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/03/09 13:52

またまた間違い! お恥ずかしい。

(3) は x<0, y<0 なので第三象限が正しい。でも、sin(θ-2π/3)<0 であることに変わりはないので結果は同じ。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/09 10:15

ANo.3です。

すみません、0≦θ≦πの条件を失念＋間違いがありました。

(1)は、変わらずs^2 + t^2=4

(2)は、s=2cos(θ-π/3), t=2cos(θ+π/6) より、

-1≦s≦2, -2≦t≦√3

(3)は、
1)の解答を用いて
s^2 + t^2=4
t^2=4 - s^2
t^2=4 - (-1/2)^2=4-(1/4)=15/4

-2≦t≦√3より、t^2≦3(0≦t≦√3), t^2≦4(-2≦t<0)になることから
t=-√15/2

cosθ=(s+√3t)/4より、s=-1/2, t=-√15/2を代入すると、
cosθ=((-1/2)-(√3×(√15/2)))/4=(-1-3√5)/8

t=-√15/2, cosθ=(-1-3√5)/8

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/09 09:36

(1)は、

s^2 + t^2=(√3sinθ+cosθ)^2 + (√3cosθ-sinθ)^2
=3(sinθ)^2 + 2√3sinθcosθ + (cosθ)^2 + 3(cosθ)^2 - 2√3sinθcosθ + (sinθ)^2
=4(sinθ)^2 + 4(cosθ)^2
=4((sinθ)^2 + (cosθ)^2)
=4

ゆえに、s^2 + t^2=4

(2)は、加法定理を用いて
s=√3sinθ+cosθ
=2((√3/2)sinθ+(1/2)cosθ)
=2cos(θ-π/6) （π：円周率）

-2≦s≦2

t=√3cosθ-sinθ
=2((√3/2)cosθ-(1/2)sinθ)
=2cos(θ+π/6) （π：円周率）

-2≦t≦2

ゆえに、-2≦s≦2, -2≦t≦2

(3)は、(1)の解答を用いて
s^2 + t^2=4
t^2=4 - s^2
t^2=4 - (-1/2)^2=4-(1/4)=15/4
t=±√15/2

s=√3sinθ+cosθ, t=√3cosθ-sinθより、

√3s+3t=3sinθ+√3cosθ+3√3cosθ-3sinθ
=4√3cosθ

cosθ=(√3s+3t)/4√3=(s+√3t)/4

s=-1/2, t=±√15/2を代入すると、
cosθ=(-√3/2)±((√3×√15)/2)/4=(-√3±3√5)/8

cosθは-1≦cosθ≦1の範囲なので、√3≒1.732, √5≒2.236を代入すると、

(a) cosθ=(-√3+3√5)/8のとき
-√3+3√5≒-1.732+3×2.236=-1.732+6.708=4.976
4.976/8<1
となり-1≦cosθ≦1の範囲にあるため、t=√15/2は適する。

(b) cosθ=(-√3-3√5)/8のとき
-√3-3√5≒-1.732-3×2.236=-1.732-6.708=-8.44
-8.44/8<-1
となり-1≦cosθ≦1の範囲外になるため、t=-√15/2は不適。

ゆえに、t=√15/2, cosθ=(-√3+3√5)/8

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/03/09 09:17

初っ端から間違えてました。

0≦θ≦πのとき、s=√3 sinθ+cosθ, t=√3 cosθ-sinθ とおく。

s=2sin2π/3 sinθ-2cos2π/3 cosθ
=2cos(θ-2π/3)
t=2sin2π/3 cosθ+2cos2π/3 sinθ
=2sin(θ-2π/3)
(1)
s²+t²={2cos(π-2π/3)²}+{2sin(θ-2π/3)}²
=4
(2) -2π/3≦θ-2π/3≦π/3
-1/2≦cos(θ-2π/3)≦1
-1≦s≦2
-1≦sin(θ-2π/3)≦√3/2
-2≦t≦√3
(3) s=-1/2
cos(θ-2π/3)=-1/4
このとき
-2π/3≦(θ-2π/3)≦π/3
なので (θ-2π/3) は第四象限に属する。よって
sin(θ-2π/3)=-√{1-cos²(θ-2π/3)}
=-√15 /4
t=-√15 /2
cosθ=-1/4 cos2π/3+√15 /2 sin2π/3
=(-1+6√5)/8

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/03/09 08:54

0≦θ≦πのとき、s=√3 sinθ+cosθ, t=√3 cosθ-sinθ とおく。

s=2sinπ/3 sinθ+2cosπ/3 cosθ
=2cos(θ-π/3)
t=2sinπ/3 cosθ-2cosπ/3 sinθ
=2sin(θ-π/3)
(1)
s²+t²={2cos(π-π/3)²}+{2sin(θ-π/3)}²
=4
(2) -π/3≦θ-π/3≦2π/3
-1/2≦cos(θ-π/3)≦1
-1≦s≦2
-√3/2≦sin(θ-π/3)≦1
-√3≦t≦2
(3) s=-1/2
cos(θ-π/3)=-1/4
このとき
-π/3≦(θ-π/3)≦2π/3
なので (θ-π/3) は第三象限に属する。よって
sin(θ-π/3)=√{1-cos²(θ-π/3)}
=√15 /4
t=√15 /2
cosθ=-1/4 cosπ/3-√15 /2 sinπ/3
=-(1+6√5)/8