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この微分方程式の特殊解の求め方がわかりません

y''+4y'+4y=exp(-2x)/(1+x^2)
y(0)=0
y'(0)=1/2

A 回答 (1件)

両辺にe^2xをかけると、


e^2x (y''+4y'+4y)=1/(1+x^2)

ye^2xを微分すると、

(ye^2x)'=y'e^2x + 2ye^2x

(ye^2x)'=y'e^2x + 2ye^2xを微分すると、

(ye^2x)''=(y'e^2x + 2ye^2x)'
=y''e^2x + 2y'e^2x + 2y'e^2x + 4ye^2x
=y''e^2x + 4y'e^2x + 4ye^2x
=e^2x (y''+4y'+4y)

e^2x (y''+4y'+4y)=1/(1+x^2)
(ye^2x)''=1/(1+x^2)
(ye^2x)'=∫(1/(1+x^2)) dx

右辺に注目してx=tanθとすると
dx/dθ=1/(cosθ)^2
dx=(1/(cosθ)^2)dθ

1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
(cosθ)^2=1/(1+(tanθ)^2)

(ye^2x)'=∫(1/(1+x^2)) dx
=∫ dθ
=θ + C1
=arctan(x)+C1(arctan:tanの逆関数、C1:積分定数)

ye^2x=∫(arctan(x)+C1)dx
=x(arctan(x)+C1)-∫(x/(1+x^2)) dx
=x(arctan(x)+C1)-(1/2)∫(2x/(1+x^2)) dx
=x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2)+C2(C2:積分定数)

y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2)+C2)
y(0)=C2e^0=C2=0

y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2))

y'=y'(x)=-2e^2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2))+e^-2x (arctan(x)+C1)
y'(0)=e^0 (arctan(0)+C1)=C1=1/2

ゆえに、y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+(1/2))-(1/2)log(1+x^2))
    • good
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この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます

お礼日時:2019/03/11 22:37

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Qロピタルの定理を用いて解く問題で分母が0になってしまいます

与えられた式:
lim(x→1-0)  (1-x)/(arccos x)
※誤認識を避けるため、式の画像を添付しておきます。

ロピタルの定理を用いて解かなくてはならないのですが、
1回微分をしたところで分子が1、分母がx→1のときに0になってしまいます。

そのため、分子が1なので2回目の微分はできないという認識なのですが
何か手順に誤りがありますでしょうか?

よければ計算手順を含めてご教授頂けると幸いです。

Aベストアンサー

ANo.1です。

>limの条件は「xが左方向から1に近づくとき」という認識です。

そうでしたね。ここは勘違いでした。
ただ、ロピタルの定理を使って導いた式は変わりませんので、

im[X→1-0](1-X)/arccosX
=lim[X→1-0](-1)×(-√(1-X^2))
=lim[X→1-0](√(1-1^2))
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ですね。
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1階正規形微分方程式 dy/dx = g(x,y) の初期値問題に
一意解が存在する十分条件として、f がリプシッツの条件
∃c,∀x1,x2,y1,y2, | g(x1,y1) - g(x2,y2) | < c | y1 - y2 |
を満たすことが挙げられます。

(d/dx - 1)f(x) = 0 は、1階正規形微分方程式
y = f(x), dy/dx = y の形をしています。
g(x,y) = y が例えば c = 2 でリプシッツの条件を満たすので、
この方程式は解となる関数 y = f(x) を定義します。
この f(x) を exp(x) と命名すればよいのです。

積分表示としては、dy/dx = (d/dx)f(x) = f(x) = y が
変数分離形なので、x - 0 = ∫[1,y]dy/y と書けます。
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exp を定義する方法もありますが、ここでは、
exp を前者の方法で、log を後者の方法で定義して、
逆関数の関係にあることがこれで示されたと見ましょう。

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対応しています。対数法則は、
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(d/dy)log(y) = 1/y, log(1)=0 を使って
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(d/dy)G(y) = b/y - by^(b-1)/y^b = 0 より G(y) = G(1) = log(1) - log(1) = 0
と計算して示すことができます。

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Q数学√X=i√−X は可能ですか?

数学です。
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ダメです。
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という問題なのですが、わからないので教えて欲しいです。
解答の過程もお願いします。

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置換積分法と部分積分法 を両方使うということなら
logx=tとおく
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(2)=∫(te^t)/(e^2t)dt
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=-t(e^-t)'+∫(e^-t)'dt
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Q大学数学の証明の問題です。解き方を教えてください。

以下の命題を証明せよ。
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命題 0.999…=1

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問題の数列{a[n]}を次のように表現します。
a[n]=1 - 10^(-n), (a[n]=0.99999...999(9がn個)) とする。
このとき、
任意の正数ε(いかに小さくてもよい)に対し、N=-log[10](ε) にとると、
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とできることから、lim|a[n]-1|=0.

Qnlogn/(n^a)(a>1)をε-Nを用いて0に収束することを示して下さい。

nlogn/(n^a)(a>1)をε-Nを用いて0に収束することを示して下さい。

Aベストアンサー

x=logn
とすると
x=logn>0
logn^a=alogn=ax>0
だから
n^a=e^{ax}>1+ax+(ax)^2/2>(ax)^2/2
だから
0<1/e^{ax}<2/(ax)^2
0<x/e^{ax}<2/{(a^2)x}
0<logn/n^a=x/e^{ax}<2/{(a^2)x}=2/{(a^2)logn}

0<logn/n^a<2/{(a^2)logn}…(1)

任意のεに対して
N>e^{2/(εa^2)}となる自然数Nがある
n>Nとなる任意の自然数nに対して
logn>logN>2/(εa^2)
ε>2/{(a^2)logn}
だからこれと(1)から
0<logn/n^a<2/{(a^2)logn}<ε
|logn/n^a|<ε

lim_{n→∞}logn/n^a=0


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