この微分方程式の特殊解の求め方がわかりません y''+4y'+4y=exp(-2x)/(1+x^2)

この微分方程式の特殊解の求め方がわかりません

y''+4y'+4y=exp(-2x)/(1+x^2)
y(0)=0
y'(0)=1/2

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/11 22:35

両辺にe^2xをかけると、

e^2x (y''+4y'+4y)=1/(1+x^2)

ye^2xを微分すると、

(ye^2x)'=y'e^2x + 2ye^2x

(ye^2x)'=y'e^2x + 2ye^2xを微分すると、

(ye^2x)''=(y'e^2x + 2ye^2x)'
=y''e^2x + 2y'e^2x + 2y'e^2x + 4ye^2x
=y''e^2x + 4y'e^2x + 4ye^2x
=e^2x (y''+4y'+4y)

e^2x (y''+4y'+4y)=1/(1+x^2)
(ye^2x)''=1/(1+x^2)
(ye^2x)'=∫(1/(1+x^2)) dx

右辺に注目してx=tanθとすると
dx/dθ=1/(cosθ)^2
dx=(1/(cosθ)^2)dθ

1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
(cosθ)^2=1/(1+(tanθ)^2)

(ye^2x)'=∫(1/(1+x^2)) dx
=∫ dθ
=θ + C1
=arctan(x)+C1（arctan：tanの逆関数、C1:積分定数）

ye^2x=∫(arctan(x)+C1)dx
=x(arctan(x)+C1)-∫(x/(1+x^2)) dx
=x(arctan(x)+C1)-(1/2)∫(2x/(1+x^2)) dx
=x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2)+C2（C2：積分定数）

y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2)+C2)
y(0)=C2e^0=C2=0

y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2))

y'=y'(x)=-2e^2x (x(arctan(x)+C1)-(1/2)log(1+x^2))+e^-2x (arctan(x)+C1)
y'(0)=e^0 (arctan(0)+C1)=C1=1/2

ゆえに、y(x)=e^-2x (x(arctan(x)+(1/2))-(1/2)log(1+x^2))

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます

お礼日時：2019/03/11 22:37