集積点

数列を(an)で表し、その値域にあたるものを｛an}で表すことにする。

数列(an)の集積点aを
「aの任意の近傍が｛an}のa以外の点を含むような点」と定義した場合、それが(an)のある部分列の収束先になっていることの証明がうまくできません。
aから1/n近傍をとった場合、aは｛an}の集積点であることからaではない｛an}の点が含まれます。
{an}の元（≠a)で、aに近づく元があるわけですが、それが(an)の部分列になるといってよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/12 13:16

> それが(an)のある部分列の収束先になっていること

この話には「(an)は収束する」という仮定が（暗黙裡に）入っているんですよね。もしかすると、「収束」の定義の理解が怪しいのかも。

> {an}の元（≠a)で、aに近づく元があるわけですが、それが(an)の部分列になるといってよいのでしょうか？

　どういう定理は利用して良いのか、というところがはっきりせんのだけれど、ま。
　(an)に（{an}じゃダメ）「コーシー列になっている部分列」がひとつでも存在するなら、(an)は収束する。
　ここで、集合{an}じゃダメな理由は、(an)の部分列を作る際に、(an)から無限個の要素を選ぶやりかたは自由だけれど、(an)に現れる順番を変えちゃいけないからです。
　がんばれ。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/03/13 22:40

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/12 19:56

N=(全自然数の集合)

数列{a(n)}_{n∈N}の集積点をαとする
αは集積点だから
0<|a(m(1))-α|<1
となる自然数m(1)があるからそれをm(1)とする
ある自然数nに対してm(n)が定義されているとき
0<|a(m(n+1))-α|<|a(m(n))-α|/(n+1)
となる自然数m(n+1)があるからそれをm(n+1)とすると
数列{a(m(n))}_{n∈N}は{a(n)}_{n∈N}の部分列で、
|a(m(1))-α|<1
だから
n=1のとき
|a(m(n))-α|<1/n
が成り立つ
ある自然数nに対して
|a(m(n))-α|<1/n
が成り立つと仮定すると
|a(m(n+1))-α|<|a(m(n))-α|/(n+1)<1/{n(n+1)}<1/(n+1)
n+1に対しても
|a(m(n+1))-α|<1/(n+1)
が成り立つから
すべての自然数nに対して
|a(m(n))-α|<1/n
が成り立つから
任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(m(n))-α|<1/n<1/n_0<ε
となるから
{a(n)}_{n∈N}の部分列{a(m(n))}_{n∈N}はαに収束する

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/03/13 22:41

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/12 14:06

＞「コーシー列になっている部分列」がひとつでも存在するなら、(an)は収束する。

a[n] = (-1)^n の部分列 a[2n].

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/03/13 22:40