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数学I 展開の問題です。
x(x-5)^2 "^2は二乗です。"
この式の展開のやり方が分かりません。
「括弧の前にあるx」と「括弧についている二乗」はどちらを先に計算すれば良いのですか?

A 回答 (7件)

どちらでも良いですが、分かりやすく楽なほうであれば2乗を先に計算するほうですね。

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^2 は後ろの項だけにかかっている!


全体ならば、{ x(xー5)}^2 になるから!
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>「括弧の前にあるx」と「括弧についている二乗」はどちらを先に計算すれば良いのですか?



この質問文 ちょっと気になったのですが、まさか x(x-5)² を (x²-5x)² と解釈はしてないですよね。
下の回答にもあるように x(x-5)²=x(x-5)(x-5) ですから。
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あえて書きなおすと


x(x-5)^2 =x(x-5)(x-5)です。
掛け算は、どこから行っても構わないので
x(x-5)から計算を始めることも出来ます…①が、
(x-5)(x-5)から始めることもできます…②。
②は(x-5)²を展開公式に当てはめて展開→x²-10x+25としておいてから、更にxをかけることになります(分配法則)から
①より少し楽に計算できると言う感覚があるので、普通は2乗の展開を優先する人が多いです
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(x-5)^2の展開は暗算で出来るように練習しましょう。


そうすれば、展開の逆を使った平方完成の方法を早く、正確に計算出来ますよ。
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どちらでも大丈夫


でも括弧の中を先に展開した方が視覚的に簡単じゃないですかね
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x(x-5)²=x(x²-10x+25)=x³-10x²+25x



x(x-5)²=x(x-5)(x-5)=(x²-5x)(x-5)=x³-5x²-5x²+25x=x³-10x²+25x

先に(x-5)²を展開が楽です。
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a<0なら、上記の逆。

さて、今度は、y=ax²+sx+tを平方完成してみましょう。
=a{x²+(s/a)x+(t/a)}
=a{x²+2(s/2a)x+(s/2a)²-(s/2a)²+(t/a)}
=a{x+(s/2a)}²+a{-(s/2a)²+(t/a)}
=a{x+(s/2a)}²+a{-(s²/4a²)+(4at/4a²)}
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=a{x+(s/2a)}²-(s²-4at)/4a

s²-4at、どこかで見たことがありますよね。
a>0のとき、(s²-4at)>0なら-(s²-4at)/4aは負になるので、グラフがx軸を跨ぐから2解を持つ。
a<0のとき、(s²-4at)>0なら-(s²-4at)/4aは正になるので、グラフがx軸を
跨ぐから2解を持つ。
なんてことになります。

更に、y=0のとき、
a{x+(s/2a)}²=(s²-4at)/4a
{x+(s/2a)}²=(s²-4at)/4a²
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x=-(s/2a)±{√(s²-4at)}/2a
=[-s±{√(s²-4at)}]/2a
これもどこかで見たことがあるでしょう。二次方程式の解の公式です。
ここから見ると、
s²-4at<0なら平方根の中身が負となり虚数となる。虚数解を持つのは、グラフがx軸と交わらないし接しもしないとき。
s²-4at>0なら平方根の中身が正となり実数となる。実数解を二つ持つのは、グラフがx軸と交わるとき。
s²-4at=0なら平方根の中身が0となる。実数解を一つしか持たない。これは、グラフがx軸と接している場合、となります。

というようなことを、可能なら自分で参考書から学び取れると、以前は何だかよく解らなかったことが、今は意味を持って見えてくるかもしれないのです。

その問題に戻ると、y'がずっと正でいることが求められるので、上記の議論で、ずっと正であるにはどういう条件が必要なのか、ということになります。
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∫ x^2・e^1-x=x^2・(ーe^1-x )ー∫ 2x・(ーe^1-x)=ーx^2・e^1-x +2∫x・e^1-x)dx
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=ー(x^2 +2x +2 )・e^1-x +C
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