解説お願いしますm(_ _)m

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No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/03/24 12:18

(1)t=2^x+2^-xの両辺を2乗すると

t²=(2^x+2^-x)²
=(2^x)²+2・(2^x)・(2^-x)+(2^-x)²　 ←←←(a+b)²=a²+2ab+b²を利用
=2^(2x)+2・(2^x)・(1/2^x)+(2^-2x) 　←←←指数法則(a²)³=a²*³=(a³)²及びa⁻⁵=1/a⁵　を利用
=(2²)^x+2+(2²)^-x　←←←同じく指数法則
=4^x+2+4^-x
だから
4^x+4^-x=t²-2
これを用いてF(x)をtで書きかえます
(2)tの範囲を求めます
微分を使ってもよし、相加平均≧相乗平均でも良し
相加平均≧相乗平均なら
2^x>0,2^-x>0だから
(2^x+2^-x)/2≧√(2^x)(2^-x)
⇔(2^x+2^-x)/2≧√１
⇔(2^x+2^-x)≧２
⇔t≧２
次に２＾ｘ＝Xとおけば、前に述べた指数法則から、2^-x=2^(-1x)=(2^x)⁻¹=X⁻¹=1/Xだから
t=X+1/X
⇔Ⅹ²+-tX+1=0
だからt=2のときXは重解となることに注意。このときxも解が1個
それ以外のｔではXの解は2個。つまりｘも2個
これを踏まえて(1)の結果とy=aのグラフを書く（縦軸y,横軸t)
このグラフから、交点が1つとなるようなaを求めます。
(前に述べた通りｔ＝２には注意）

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/23 18:43

(1)

t^2 = 4^x + 4^-x + 2 を使えば、実現できるでしょう。

(2)
t の値域が t ≧ 2 であることを確認して、
t の二次方程式 f(x)=a が t > 2 の範囲に実数解を 1個
持つような a の範囲を求めましょう。
t = 2 に対して 1個の x = 0 が、
t > 2 に対して 2個の実数 x が対応するからです。