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本題に入る前に、話のすれ違いがないようにハミルトニアンの定義をしておきます
まず系の状態を定めるようなパラメーター(一般化座標)をqとして、作用積分
S = ∫[t1~t2] L(q,q',t) dt
が極値を取るという変分原理が初めにあります
Sが極値を取るのでLはオイラー・ラグランジュ方程式を満たします
Lをオイラー・ラグランジュ方程式に代入した際に、その系の時間発展の方程式が得られるようなものをラグランジアンと定義します
自由粒子の場合にはパラメーターはxであり、Lとして
L = mx'^2/2
L = e^(ax')
などがあります
一般化運動量を
p = ∂L/∂q'
で定義し、ハミルトニアンを
H = pq' - L
で定義します

このようにハミルトニアンを定義した場合、ポテンシャル中を運動する粒子や電磁波、その他オーソドックスな系(電磁場中の荷電粒子等々)の場合にはハミルトニアンを系のエネルギーと等しいものに取ることができますが、それが偶然なのか、それとも必然なのか、それ以外の一般の場合についてもやはりハミルトニアンをエネルギーと等しいものに取ることができるのかについて教えてください

A 回答 (1件)

ゴールドスタインの"古典力学" (初版) VII-3節"保存法則とハミルトニアンの物理的意味" には以下の説明がありました。

私には理解不能ですが、原文を読まれてはどうでしょうか。
-- p.259 --
Lagrangianが時間を陽に含まなければ(その場合にはHamiltonianも時間も陽に含まない訳だが), Hが運動の定数になる。
また、Lの一般化座標が時間を含んでおらず、またポテンシャルVが速度を含んでいなければ、Hamiltronianは全エネルギーT+Vに等しい。
しかしながら、Hが運動の定数であることと, Hが全エネルギーに等しいということは別の事柄である。
たとえば、Lの一般化座標が時間を陽に含んでいるけれども, Hが時間を陽に含んでないような場合が起こりうる。このときにはHは運動の定数ではあるが全エネルギーには等しくはない。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
紹介していただいた本については後で読んでみようかと思います

お礼日時:2019/03/31 00:22

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先の書き込みで、数百光年先の場所まで数時間で到達しても相対性理論に反しないとこを書きましたが、これを宇宙船だけでなく宇宙船の周りの空間ごとやるっていう考え(イメージ的には)になります。
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前方の空間を圧縮するのにもう1つ問題がありそうだとしたら、1光年先の距離まで縮ますのに(つまり影響を及ぼすのに)1年の時間が掛かったら、300光年先の空間に影響を及ぼすのに300年掛かったら、意味がないですね。これは先の数百光年先に到達するのに数時間しか掛からなくても相対論的には問題ないというところから、圧縮前の距離(300光年)ではなく、圧縮後の距離で影響を及ぼせる(のとちゃうかなー)ってことでなんとかなりそうです。

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初期値をゼロにするのでなければ、積分を「定積分」にしてください。そうすれば「変化分」になります。

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>我々の住むこの世界がなぜ4次元かということについて、数学的あるいは物理学的に考察した記事や書籍などをご存知ありませんか?

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