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x²+y²≦10を満たす整数x、yの組(x、y)は◽︎組あり、特に、これらの組のうちで正の整数x、yの組(x、y)は◽︎組ある。
◽︎に入る数字を求めよ。

解説お願いします!

A 回答 (6件)

たいした組数じゃ無いから数えるだけ。


候補のxはx=-3,-2,-1,0,1,2,3しか無い。

x=0の時、|y|=0,1,2,3 (x,y)の組は1×7=7組
|x|=1の時、|y|=0,1,2,3 (x,y)の組は2×6+2=14組
|x|=2の時、|y|=0,1,2 (x,y)の組は2×4+2=10組
|x|=3の時、|y|=0,1 (x,y)の組は2×2+2=6組

整数x、yの組(x、y)は37組



正の整数x、yの組(x、y)は
x=1,2,3しか無い

x=1の時、y=1,2,3
x=2の時、y=1,2
x=3の時、y=1
(x、y)は6組しか無い。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。分かりやすかったです!

お礼日時:2019/04/05 20:48

図示して、√10に気をつけながら、数える!


6+13+12+6=37
「x²+y²≦10を満たす整数x、yの組(」の回答画像6
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0≦x²


x²+y²≦10⇔x²≦10-y²より
0≦x²≦10-y²…①
0≦y²だから
0≧-y²
両辺10を加えて
10≧10-y²…②
①②から
0≦x²≦10
xが整数なら これを満たすx²の値は0,1,4,9
x²≦10-y²に順に代入すると
0≦10-y²→y²=0,1,4,9
1≦10-y²→y²=0,1,4,9
4≦10-y²→y²=0,1,4
9≦10-y²→y²=0,1
つまり 
(x²,y²)=(0,0)
(0,1)(0,4)(0,9)
(1,0)(1,1)(1,4)(1,9)
(4,0)(4,1)(4,4)
(9,0)(9,1)

x²=0⇔x=0 以外は
x²からxの値2つが導き出されることを考慮すると(yについても同様)
(x,y)の組は
(x²,y²)=(0,0)からは(x,y)=(0,0)の1組
(x²,y²)=(1,0)など、0を1つ含む場合からは(x,y)=(1,0)(-1,0)など2組
(x²,y²)=(1,1),0を含まない場合は(x,y)=(1,1)(-1,1)(1,-1)(-1,-1)など4組
というようになるから
整数x、yの組(x、y)は1+2x6+4x6=37組

また、正の整数x、yの組(x、y)は0を除いた
(x²,y²)=
(1,1)(1,4)(1,9)
(4,1)(4,4)
(9,1)
から導かれるから6組
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました!
よく分かりました!

お礼日時:2019/04/05 20:49

No1 の考え方で、


7x7のグリッドから、3,3 3,2 2,3 の±コンビネーションの個数を省く
49-12=37かな。

逆に全部数えるとすると、
3,1 3,0
2,2 2,1 2,0
1,3 1,2 1,1 1,0
0,0 0,1 0,2 0,3
の±コンビネーションを考える場合は、0はマイナスにならないから、
0,0 1個x1倍
3,0
2,0
1,0
0,1
0,2
0,3 6個x2倍
残りの6個は4倍
で1+12+24=37

意外とめんどくさい。
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円の方程式


x²+y²=r²
はご存知ですね。
設問は≦ですので、要するに、「原点を中心とする半径√10の円内にある条件(整数など)を満たす点」を数えればいいのです。
「3<√10<4」ですので、すべて当たってもー3≦x≦3(の整数)でyが円の中に納まる点を数えるだけです。
※0≦x≦3を考えれば、あとは察しがつきます。
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-3,-2,-1,0,1,2,3の全ての組み合わせから、-2,-3と、2,3、


-3,2、-2,3、-3,3を外す
7C2-2=7x6/(2x1)-5=16、∴16通り。
正の部分は、1,2,3の全ての組み合わせから、2,3を外す
3C2-1=3x2/(2x1)-1=2通り。

どうでしょうか?
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図を使って説明するにしても、あなたが書いたようなものではどちらもダメです。

結局、12本の差があるということは、8m間隔の方が多いことは明らかです。
ということは、10m間隔で1周するのに要したのと同じ数の木を8m間隔で植えたとき、まだ12本を植えるだけの距離が残っているということであり、その12本は8m間隔で植えられるということになります。ということは、8x12=96 mが残っていることになります。
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点Cのx座標をtとすると、以下のようなことがわかる。
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点Fのx座標は(3/2)t、y座標は(9/4)at^2 →BC:EF=2:3より
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点Hの座標は((1/2)t、at^2+(√3)・t/2 ) →mC:AC:Am=1:2:√3 かつ On=Om(=点Cのy座標)+mn(=Amの半分)より。・・・②

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(2)添付ファイルの右を参照のこと。
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----------------
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0.
△AHE=△AFE – △AFH

1.
「△AFE」
=392× 9 /14× 1 /2=126

2.
・ 「△AFH」=△BFH (底辺FH共通,高さAB//EFなので同じ)

・「△AFH」=△AGH+△GFH
△BFH = △BGF+△GFH
より, △AGH=△BGF
△AFC=△AGH+□GFCH
△BCH=△BGF+□GFCH
より, △AFC=△BCH
△AFC=△DFC
=392× 5/14× 1/2
=70
△AFC=△BCH=70

・ △BFH=△BCH× 9 /14
=70 × 9 /14
=45

・ 「△AFH」=△BFH=45

3.
△AHE=△AFE – △AFH
=126 – 45
=81

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