34の⑵で、何故dU/dyを求めるのかが分かりません。 ちなみに、解答ではこの後増減表を求めて最大値

34の⑵で、何故dU/dyを求めるのかが分かりません。
ちなみに、解答ではこの後増減表を求めて最大値を求めています。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/02 21:43

x,y の間に x+2y = 10 の関係があるので、

U = xy^2 は2変数関数ではなく1変数関数です。
U の最大値を求めるには、x か y の一方を消去して
1変数であることが見やすくしてから、増減表で処理すればいい。
どちらの変数を消しても同じことですが、御要望にそって
x を消去することにすると、x = 10-2y, U = (10-2y)y^2,
x ≧ 0, y ≧ 0 は 0 ≦ y ≦ 5 と翻訳できるので、
0 ≦ y ≦ 5 の範囲で (10-2y)y^2 の最大値を求める問題になります。
dU/dy = 20y-6y^2 から増減表を書いて眺めれば、
最大値は y = 10/3 のときの U = 1000/27.
このとき x は x = 10 - 2(10/3) = 10/3 です。

数Iだと、もう少し簡単に答えが出ます。
x ≧ 0, y ≧ 0 より、相加相乗平均の関係を使って
(xy^2)^(1/3) ≦ (x+y+y)/3 = 10/3,
等号成立は、x = y = y のときです。
x+2y = 10 かつ x = y すなわち x = y = 10/3 のとき
U は最大値 U = (10/3)^3 = 1000/27 をとることになります。