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eは(n+1/n)と表せますが、(n+1/n)をテイラー展開するとどうなりますか?

質問者からの補足コメント

  • 間違えました。eは(1+1/n)^nと表せれますが、(1+1/n)^nをテイラー展開するとどうなりますか?eをテイラー展開した場合と同じ展開になるのでしょうか?

      補足日時:2019/04/05 13:20
  • gammaさんありがとうございます。
    式を正しく書いておらずすいませんでした。
    テイラー展開で書いてくださりありがとうございます。

      補足日時:2019/04/05 16:14

A 回答 (5件)

>(1+1/n)^nをテイラー展開するとどうなりますか?



テイラー展開とは関数に対してするもの。
定数は展開出来ない。
e^x のテーラー展開でχ=1として級数展開に持って行く話では?
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ここではe^xのテイラー展開と(1+1/n)^nxのテイラー展開を比べると見ます


はっきり言うとe=(1+1/n)^nはn→∞でしか成り立ちませんので
nが∞以外の値のときテイラー展開は一致しません
n→∞のときテイラー展開は一致します

テイラー展開は簡単に書けるので微分の腕試しとして計算するのもいいかもしれません
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(1+1/x)^x は x=0 で正則でないので、


マクローリン展開(0を中心とするテイラー展開)することはできません。
1/n = x の関数と見て展開すると
(1+x)^(1/x) = e - (1/2)ex + (11/24)ex^2 - (7/16)ex^3 + …
となりますが、一般項を書き下すのは難しそうです。
いずれにせよ、e と関係があるのは e = lim[n→∞](1+1/n)^n で
n→∞ の極限の話ですから、
(1+1/n)^n を n でテイラー展開することに意味が在るとは思えません。
f(x) を x でテイラー展開するのは、x が小さいときのことを考えるためです。
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eをテーラー展開するとはどんなこと?

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lim[n→∞]{1+1/n}^n=e. です。

式は正しく書いてください。いかにnが大きくても (1+1/n)^n は e にはなりえません。
a[n]=(1+1/n)^n, を、nが自然数であるとして「二項展開」します。
(1+1/n)^n=Σ[k=0~n]combi(n, k)*(1/n)^k
1+n*(1/n)+{n(n-1)/2!}*(1/n)^2+....+n*(1/n)^(n-1)+(1/n)^n
=1+1+(1/2!)*1*(1-1/n)+(1/3!)*1*(1-1/n)*(1-2/n)+(1/4!)*1*(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)+...+1/n^n
<1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!
<1+1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+....+(1/2)^(n-1)
=3 - (1/2)^(n-1)...(上に有界).
{a[n]}は単調増加ですから、極限値があります。
ーーーーーーーーーー
※ (1+1/x)^x, においてx:実数としても同様に lim[x→∞]{1+1/x}^x=e.
が成り立ちます。
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