「時刻t=0にx軸上の原点から、x軸の負の方向にAくんが毎秒光速の90%の速度(以下、0.9cと書く)で等速直線運動を始め、同時にBくんはx軸の正の方向に毎秒0.9cの速度で等速直線運動を始めるとすると、Aくんから見たBくんの相対速度は1.8c(光速の1.8倍)となり、光速を超える速度は存在する。」

この文章はどこが間違っているのでしょうか。
相対性理論が絡んでくるのは間違いないと思うのですが、私は相対性理論についてはよく分かりません。
誰か、このパラドクスを解決していただけないでしょうか。
高校の物理の先生にこの問題を教えられてから今日に至るまで解決できていません。
ただ、数式とかはよく分からないので、数式抜きで説明していただければ幸いです。
わがままで本当にすみません。どうぞ、よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

あなたは数式を使うな、と言われますが、


0.9c+0.9c=1.8c
という数式を使っているのではありませんか?

u、vの速度で離れつつある2つの物体は、一方から見ると、
古典物理学では
u+v・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)
の速さに見えます。

しかし、相対論では
(u+v)/(1+(u*v)/c^2)・・・・・・(2)
になります。

この式に
u=0.9c
v=0.9c
を代入すると
0.99c
になり、光速の99%にしかなりません。

uとvがcに比べて、十分小さい場合は
(u*v)/c^2
は小さすぎますので、計算しても、有効な範囲に入りません(有効数字)
従って、(2)式の分母は1になり、(2)式は(1)式と等しくなり、古典論と同じくなります。

参考にならなければ無視してください。
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この回答へのお礼

「数式を使わないで」というのは、「微積分などの高等な数式を使わないで」というつもりで書いたのですが…。
誤解を与えてすみませんでした。
それはともかく、参考になりました、
ありがとうございました。

他の人の回答もまだお待ちしています。

お礼日時:2001/07/28 22:05

文章にあやまりがあるとすれば、この相対速度は古典力学のガリレイの相対原理に基づいた速度、つまりガリレイ変換した時の相対速度です。

正しい相対速度の出し方は#1の方が書いてあるように、特殊相対論のローレンツ変換をあたえなくてはなりません。
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文字だけの方がわかりにくいかもしれませんが。



「速度」とはなんでしょうか?
「速度」とは、「単位時間あたりに動く距離」ですよね。
ではこの問題の「Aくんから見たBくんの相対速度」とはなんでしょうか?
「BくんがAくんから単位時間あたりに遠ざかる距離」ですよね。
Aくんは、Bくんが遠ざかる姿を見て、Bくんが単位時間あたりに自分(Aくん)から遠ざかる距離を計測します。
BくんもAくんも、お互い光に近い早さで遠ざかりますので、Bくんから出る光は(Aくんにとって)遅くなり、またその光がAくんに追いつくのに(Aくんにとって)時間がかかってしまうのです。
そうしてAくんが求めたBくんの速度が、brogieさんの式で求められるものです。
「速度」と一気に考えないで、「時間」と「距離(場所)」の両方を、それぞれに考えるべきと思います。

大部分において正確でない言い方をしていますが、ご容赦ください。「なんとなくわかってもらおう」という程度です。
なお、数式が無くても読める相対性理論の本として、講談社の「ブルーバックスシリーズ」をおすすめします。
相対性理論の本もたくさん出ています。
ぜひ読んでみてください。
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>光速の99%なんで、到達するのがスローに見えるのでしょうか?
観測者bから見ても光はcで進みます。
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>光速は超えられないのですが、仮に光速で移動したとすると観測者は前方に到達することを確認できません。だから光速を超えることはできないということですか?
いいえ。
相対論に基づいて光速を超えられないと解釈されているのは、もしそれができたとすると、因果律が破れるからです。


>また、宇宙船内の光は速度cで進みます。とすると宇宙船a内のライトは宇宙船にとっては観測者bに対して(1+99/100)cとなり、宇宙船にとっての観測者に対するライトの速さは光速を超えてしまうのですか?
はい、「観測者aから見た,光の速度と観測者bの速度の差」はcを超えます。
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>ライトが船内の前方へ到達する時間をkとします。とすると観測者bから見た到達時間はkより多くかからなければなりませよね。
はい。

>光速の99%なんで、到達するのがスローに見えるのでしょうか?
観測者bから見ても光はcで進みます。
宇宙船の前方は光から逃げる形になるわけで、光が追いつくのに時間がかかる、というだけの事です。

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「光速度不変の原理」とは、静止して光を観測しても移動しながら光を観測しても、光の速度は秒速30万キロと測定されると言うものです。
 例えば、時速100キロの電車を静止して観測すると、その速度は時速100キロです。しかし、時速50キロの車で追いかけながら電車を観測すると、電車の速度は時速50キロと測定されます。時速50キロの車に乗って電車と対面する形で観測すると、電車の速度は時速150キロと測定されます。

 移動する車から見た電車の速度を、電車の相対速度と言います。「光速度不変の原理」とは、光の相対速度は秒速30万キロで不変であると言うものです。つまり、光を秒速15万キロで並走しながら観測しても、同速度で光と対面する形で観測しても、光の相対速度は秒速30万キロで変らないというのです。これは、常識に反するため、大変理解しがたいのです。

 ではなぜ、この様な考え方が必要だったのでしょうか。
 電磁気力は、光の一種である電磁波が、電荷を帯びた物質間を往復することで生じます。そして、電磁気力の強さは物質間の距離の2乗に反比例します。つまり、電磁波が物質間を往復するのに要する時間の2乗に反比例するのです。
 電荷を帯びた2つの物質が並走しながら電磁波を交換すると、静止している場合に比べて、電磁波の往復距離は長くなります。即ち、電磁波の往復に要する時間が長くなるので、生じる電磁気力の強さは弱くなる筈です。
 しかし、現実には、静止していても移動していても、生じる電磁気力の強さは変りません。

 この謎を説明するために、アインシュタイン博士は、移動する2つの物質から見た電磁波の相対速度は、秒速30万キロで不変であると考えたのです。これで、静止していても移動していても、電磁波は同じ時間で物質間を移動します。だから、生じる電磁気力の強さは、物質の移動速度にかかわらず不変となると説明しました。

 しかし、幾らなんでも、秒速30万キロの光を秒速15万キロで追いかけても、同速度で光と対面しても、光の速度は秒速30万キロで変らないと言うことは理解出来ません。

 そこで次のような思考実験を行います。
 電荷を帯びた2つの物質を、一本の剛体の両端に取り付けます。そして、この装置を秒速vキロで移動させます。この2つの物質間を電磁波は往復します。
 この時、電磁波の移動距離は、進行方向(横方向)に剛体棒を向けた時静止時の1/(1-v^2/c2)倍、上下左右方向(縦方向)に向けた時静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍となります。
 一方、秒速vキロで移動する物質は「ローレンツ収縮」し、横方向に√(1-v^2/c^2)倍短くなります。従って、剛体棒の長さは、横方向に√(1-v^2/c^2)倍短くなるので、電磁波の横方向の往復距離は、静止時の1/(1-v^2/c2)×√(1-v^2/c^2)=1/√(1-v^2/c^2)倍と、縦方向の往復距離と同じとなります。
 この仕組みにより、マイケルソンとモーレーの実験では、縦方向に往復させた光と横方向に往復させた光とが、同時に戻ることが出来たのです。

 従って、秒速vキロで移動する場合、電磁波の往復距離は静止時に比べて1/√(1-v^2/c^2)倍となります。つまり、電磁波の往復時間は、静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍となります。

 一方、高速で移動すると物質は動き難くなります。この現象は、粒子を加速器で加速する際に見られます。粒子は光速に近づく程、加速し難くなります。秒速vキロで移動すると、静止時の√(1-v^2/c^2)倍しか動けません。従って、時計は1秒間に√(1-v^2/c^2)秒を刻む様になります。

 こうして、秒速vキロで移動する慣性系では、電磁波の往復に要する時間は、静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍×√(1-v^2/c^2)倍=1倍となります。つまり、電磁波の往復に要する時間は、移動速度に関係なく不変なので、生じる電磁気力の強さも移動速度に影響されず不変なのです。

 この様に、現実には往路と復路の光速度は異なりますが、物理学の計算上一々往路と復路の光速度よりそれに掛る時間を計算し、生じる電磁気力の強さを求めることは無駄です。
 生じる電磁気力の強さは、電磁波の往復に要する時間の2乗に反比例するのであり、往復に要する時間は不変なのですから、往路と復路共に光速度不変と仮設して計算します。

 その様に仮設したのがローレンツ変換
①t’= (t-Vx/C^2) / √(1-v^2/c^2)
②x’=(x-Vt)/√(1-v^2/c^2)
③y’= y ④z’= z ⑤C’=C
です。

 物質は質量があるので、上記のとおり高速で移動すると動き難くなりまたローレンツ収縮する為、光速度が不変と測定されます。
 x=光の進んだ距離=Ct㎞、t=光の進んだ時間、V=もう一方の光の速度=C㎞/秒を①と②に代入すると
x'÷t'=C
と光速度不変となります。

 この様に、高速で移動すると時計が遅れ定規が収縮するので、V慣性系では時間と空間の座標が変化するのです。決して、時間と空間そのものが変化する訳ではありません。
時間と空間は絶対であり、光速度は物質が変化するので、不変と観測されるだけです。

 詳細は、下記のホームページを参照下さい。
http://www.geocities.jp/labyrinth125064/kousokudofuhennnogennri1.html

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Aベストアンサー

その問題でしたら、#1さんがおっしゃるようにそのままでも十分簡単ですね。

もっと複雑な場合には、確かに簡単には計算できないですね。
その際、速度パラメータや速度係数が有用です。
こちらのサイトが参考になるかと思います。
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Aベストアンサー

補足コメントを読ませて頂きました。
まあ、いろんな考え方をされる方たちがいらっしゃいますので、あまり気になさらずに・・・。
多分、meetonlyさんは、数学が凄く楽しいのだと思います(^^)
私も、数学を楽しんでいたとき、こんな事できないかなぁ~、あんな事できないかなぁ~って、いろんな事をやっていました(^^○)
この問題の解答を作るとき、昔の事を思い出しながら、楽しく解かせて頂きましたよぉ~(^0^)
私のボンクラ頭では、ついて来られない物もあると思いますが、少しでも力になれる事があれば幸いです(^^)
これからも、是非、数学を楽しんで下さいね(^^v)


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