正規部分群の定義について。

Wikipediaの正規部分群の定義が、「∀n∈N, ∀g∈G, gng^(-1)∈N」・・・①となってます。
他で調べたら、「∀g∈G, gN=Ng」・・・②としているところが多いです。
②⇒①は自明な気がするのですが、
①⇒②は自明でしょうか?
「①⇒②」についての証明や説明、参考サイトなどご存知でしたら教えてください。

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/07 16:11

∀n∈N, ∀g∈G→ gng^(-1)∈N…①

↓
∀g∈G→gNg^(-1)⊂N
↓両辺に右からgをかけると
∀g∈G→gNg^(-1)g⊂Ng
↓
∀g∈G→gN⊂Ng…(a)
↓gは任意だからgをg^(-1)に置き換えると
∀g∈G→g^(-1)∈G→g^(-1)N⊂Ng^(-1)
↓
∀g∈G→g^(-1)N⊂Ng^(-1)
↓両辺に左右からgをかけると
∀g∈G→gg^(-1)Ng⊂gNg^(-1)g
↓
∀g∈G→Ng⊂gN
↓これと(a)から
∴
gN=Ng

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
wikipediaを見たら記述が変わっていたので、何か間違いがあったのかと思い、締め切るところでした。
逆元を使うんでしたかぁ…。
言われればですが、分からなかったです…。
どうもありがとうございました。
とても助かりました。

お礼日時：2019/04/07 20:43

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/04/07 00:25

どこで困っている?

この回答へのお礼

「gn∈Ng ⇒ ng∈gN」を示すんですよね?
全然分からないです・・・。

お礼日時：2019/04/07 00:48

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/04/06 23:35

背理法でいけんか?

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。
すみません、もう少しヒントを頂けませんか？

お礼日時：2019/04/06 23:43