正数負数と愚数奇数の関係

Question

正数と正数をかけると正数になります．正数と負数をかけると負数になりますが負数と負数をかけると正数になります．偶数と偶数をかけると偶数になります．偶数と奇数をかけると偶数になりますが奇数と奇数をかけても奇数になります．この違いはどのように理解したらよいのでしょうか．

marumets · Accepted Answer

専門的なことは良くわからないのですが、後半だけ回答します。

偶数は「２の倍数」ですから、
偶数かける偶数は
２ａ×２ｂ＝２×２×（ａ＋ｂ）
となり、やはり２の倍数になるため、偶数になります。

偶数かける奇数は
２ａ×（２ｂ＋１）＝２×（ａ＋２ｂ＋１）
となって、やはり２の倍数になるため、偶数になります。

奇数かける奇数は
（２ａ＋１）×（２ｂ＋１）＝４ａｂ＋２ａ＋２ｂ＋１
＝２×（２ａｂ＋ａ＋ｂ）＋１
となって、２の倍数になりません。
よって、奇数かける奇数は奇数になります。

と、こんなところでどうでしょうか？

hannjyuku · Answer

偶数・奇数に関係する話は先に回答が出ておりますので、
正数負数に関する話題を１つ。

－１×ａは、ａという複素数の複素数平面上での180°の回
転を表します。ここで、任意の２つの負数の積、
－ａ×（－ｂ）を考えますと、

－ａ×（－ｂ）＝－ａ×（－１）×ｂと変形できるこ
とから、上の式の解は、複素数－ａをｂ倍して180°回転し
た複素数ということになります。数直線を考えるとわかり
やすいと思いますが、数直線上の負の点を180°回転すると
正の点に移動します。

大雑把ですが、負数×負数＝正数の直感的な説明です。
同じように負数×正数＝負数も考えることが出来ます。

もちろん、数学的にもっと厳密に考えるのであれば、
このような説明は児戯に等しいのかもしれませんが、
下の偶数奇数の回答と合わせますと、同じ土俵に上げて
考えることが難しい気がしませんか？

結局、正数と負数の積の問題と偶数と奇数の積の問題は別々に理解することが一番のように思えます。

jmh · Answer

それは、（－１）＾ｎ×（－１）＾ｍ＝（－１）^（ｎ＋ｍ）だからじゃないでしょうか。

tarame · Answer

(ア)　正×正＝正　正×負＝負　負×負＝正
(イ)　偶＋偶＝偶　偶＋奇＝奇　奇＋奇＝偶
この同じような関係はどうしてか？を考えてみるのも面白いかも！

neKo_deux · Answer

Ａ×Ｂ×Ｃ×Ｄ×…

ＡＢＣＤに正数／負数を入れる場合で結果が
正数になるのは負数の数が偶数の場合。
負数になるのは負数の数が奇数の場合。

ＡＢＣＤに奇数／偶数を入れる場合で結果が
奇数になるのは全てが奇数の場合。
偶数になるのは偶数が１つでもある場合。


真偽値だと、

式が正数かどうか＝正数かどうか（Ａ） xor 正数かどうか（Ｂ） xor …

式が奇数かどうか＝奇数かどうか（Ａ） and 奇数かどうか（Ｂ） and …

とか。


--
> この違いはどのように理解したらよいのでしょうか．

たまたま上のような性質を持っているというだけで、性質が同じであったり違っていたりする理由も必要性も無いのでは？

true_or_false · Answer

No.1さんが答えていますが、直感的に納得しづらいかもしれません。

こう考えてみてはどうでしょうか。
正数と負数は対等。なぜならマイナスをつければ正数は負数になり、負数は正数になるから。
しかし、偶数と奇数は対等ではない。『掛け算においては偶数の方が強い』。

正数負数と愚数奇数の関係

専門的なことは良くわからないのですが、後半だけ回答します。

偶数・奇数に関係する話は先に回答が出ておりますので、

それは、（－１）＾ｎ×（－１）＾ｍ＝（－１）^（ｎ＋ｍ）だからじゃないでしょうか。

(ア) 正×正＝正 正×負＝負 負×負＝正

Ａ×Ｂ×Ｃ×Ｄ×…

No.1さんが答えていますが、直感的に納得しづらいかもしれません。

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