整数問題について質問です。 (1)73=m^2+n+2となる整数m.nを1組みつけなさ

Question

<高校入試> 整数問題について質問です。
(1)73=m^2+n+2となる整数m.nを1組みつけなさい

(2)奇数を2乗した数を4で割ると余りが1となることを説明しなさい。ここで、例えば13を2で割ったとき、商を6.余りを1とするように商と余りを整数として考えるものとする。なお、余りは 割る数より0以上の整数とする。

(3)647=m^2+n^2となる整数m.nが存在しないことを説明しなさい

ここから余談になるのですが
つい今日、志望校の過去問をひらいて絶望している状況です。いままでの自分は公式などの知識だけで問題を解いていて発想問題への対応がかなり厳しく、このような入試校へ挑むには知識の上に「知恵」が必要だと思いました。たとえばですが、初等幾何のいろんな問題では、適当な補助線をひくことによって見事に解決されます。しかし、そのような補助線のひきかたは、幾何の定義や定理は教えてくれません。そのような知識の上に立つ知恵の働きです。そしてランクの高い知恵ほど的確な補助線を導いてくれるのです。自分はその壁にぶち当たりました。だから初見の問題も詰まってしまうのだと思います…。もし皆さまが存じていらっしゃれば知識の上に立つ知恵を身につける方法を教えていただけませんでしょうか。

springside · Accepted Answer

後半ですが、いいところに（と言うか、ようやく）気が付いてよかったですね。

ただ、敢えて「知恵」を身に付けようとしても、それは無理です。
必要な「知識」を完全に身に付け、それらを使って様々な問題練習に（自分の頭で必死に）数多く取り組んでいく中で、自然と「知恵」が身につきます。
逆に言えば、「知恵」はそうした数多くの経験の積み重ねによって自然と身に付くものであって、身に付けようとして身に付くものではありません（学問に王道なしです）。
まぁ、「知恵」は自分の頭で必死に考えて問題を解いていくという経験の中で、いやでも自動的に身に付いてしまうので、楽と言えば楽ですが。

ちなみに、将来大学受験をするとして、東大、京大レベルの数学に関しては、それなりに高度な知恵が必要になり、公式やちょっとした応用問題の「知識」だけではおそらく0点に終わります。

私は大学（理系）卒ですが、大学受験の時の経験（知恵）があるので、(3)は、「647は奇数だから、mとnが両方とも奇数か偶数になるのはダメ。だから、一方が偶数で他方は奇数。偶数の2乗は4の倍数で、奇数の2乗は(2)により4の倍数+1だから、その2つを足すと4の倍数+1になる。一方、647=644+3で4の倍数+3だから、それらが一致することはない。はい、一丁上がり」というふうに秒殺できる訳です。

springside · Answer

>>両方とも偶数がダメなのはわかりました。ただ奇数同士もダメなのですか？

(3)で、mとnが両方とも奇数だと、奇数²=奇数だから、奇数²+奇数²=奇数+奇数=偶数になり、647は奇数だからダメです。

kairou · Answer

(1) は 優しすぎるので 変だとは思ったのですが。

でも、(2) と (3) は、(1) を応用しませんよね。
(2)  奇数は k を整数として 2k+1 と表せますので、
　　(2k+1)² を 4 で割ると 1 余る と云うことになります。
      (2k+1)²=4k²+4k+1=4(k²+k)+1 で、
　　4(k²+k) は 4 の倍数ですから、(2k+1)² を 4 で割ると 1 余ることになります。
(3)  647 は奇数ですから m, n は, 奇数と偶数である必要があります。
　　(2) より奇数の二乗は 4 の倍数+1 で、偶数の二乗は明らかに 4 の倍数になります。
　　ですから、m2+n² は4で割ると 1 余る筈です。
　　一方、647－1＝646 で、素因数分解すると 2x17x19 で 4 の倍数ではありませんから、
　　647＝m2+n² を 満足する 整数 m, n は存在しない。

尚、質問文の後半に書いてあることは、経験が関与する部分が大きいと思います。
参考書やネット上の過去問の回答、およびこのようなサイトの回答を
丸写しする様では、経験の蓄積にはならないと思います。

mtrajcp · Answer

(1)
73=m^2+n+2
73=1^2+70+2
73=2^2+67+2
73=3^2+62+2
73=4^2+55+2
73=5^2+46+2
73=6^2+36+2
73=7^2+22+2
73=8^2+7+2

(2)
(2n-1)^2=4n^2-4n+1=4(n^2-n)+1=(4で割ると余りが1)

(3)
647=4*161+3=(4で割ると余りが3)

m=4kの時,m^2=(4k)^2=4(4k^2)=(4の倍数)
m=4k+1の時,m^2=(4k+1)^2=4{2k(2k+1)}+1=(4で割ると余りが1)
m=4k+2の時,m^2=(4k+2)^2=4(2k+1)^2=(4の倍数)
m=4k+3の時,m^2=(4k+3)^2=4{2(2k^2+3k+1)}+1=(4で割ると余りが1)
だから
m^2=4k=(4の倍数)またはm^2=4k+1(4で割ると余りが1)
n^2=4j=(4の倍数)またはn^2=4j+1(4で割ると余りが1)
だから
m^2=4k,n^2=4jの時m^2+n^2=4(k+j)=(4の倍数)
m^2=4k,n^2=4j+1の時m^2+n^2=4(k+j)+1=(4で割ると余りが1)
m^2=4k+1,n^2=4jの時m^2+n^2=4(k+j)+1=(4で割ると余りが1)
m^2=4k+1,n^2=4j+1の時m^2+n^2=4(k+j)+2=(4で割ると余りが2)
だから
m^2+n^2を4で割ると余りは0,1,2のどれかだから3にはならない
647は4で割ると余りが3だから
647=m^2+n^2となる整数m,nが存在しない

ゼロプライム · Answer

（１）７３＝ｍ＾2+ｎ+2より　ｍ＾2+ｎ＝71　　ここでｍの値を適当に決めればｍ、ｎの組はいくらでも見つかります。

（２）奇数なので２ｋ+1とおけます。（2ｋ+1）＾2＝4ｋ＾2+4ｋ+1＝4（ｋ＾2+ｋ）+1　４で割ると余りが1となります。

（３）（２）の問題がありますので、ｍ、ｎがそれぞれ偶数、奇数の場合に分けて考えてみます。
　　　　①ともに偶数の場合
　　　　　　ｍ＝2ｊ、ｎ＝２ｋとおくと　647＝４ｊ＾2+４ｋ＾2＝４（ｊ＾２+ｋ＾2）

②片方が偶数、もう一方が奇数の場合
　　　　　　ｍ＝２ｊ、ｎ＝2ｋ+1とおくと　６４７＝4ｊ＾2+4ｋ＾2+４ｋ+1　６４６＝４（ｊ＾2+ｋ＾2+ｋ）

③ともに奇数の場合
　　　　　　ｍ＝２ｊ+1、ｎ＝2ｋ+1とおくと　６４７＝４ｊ＾2+4ｊ+1+4ｋ＾2+4ｋ+1　６４５＝4（ｊ＾2+ｊ+ｋ＾2+ｋ）

こんなかんじで説明できると思います。

「知恵」だんだんと身についてくるものではないでしょうか。近道はない気がしますが・・・・

takoハ · Answer

3) 実際には、647＜26^2なので、
m=1…25   ,n=1…25 の合計の表を作成すればいいが？

数字は、偶数と奇数のどちらかだから、

偶数を2k、2Lとすれば
偶数^2+偶数^2は、(偶数の2乗は偶数より) 4k^2+4L^2で偶数である。

奇数を2p+1、2qー1とすれば
偶数^2+奇数^2=4k^2+(2p+1)^2=4k^2+4p^2+4p+1より
646ー1=645 は4の倍数でない！

奇数と奇数の場合は、
(2p+1)^2+(2qー1)^2=4p^2+4p+4q^2ー4q+2より偶数である。

よって、全ての可能性のある組み合わせで、647は、条件を満たすm、nはない！

たくさん解けば自然と浮かんでくる。

takoハ · Answer

1) 73＜9^2より1-8まで考えられる！例えば、m=8ならn=73ー2ー8^2=6

2) (2nー1)^2=4n^2+4n+1 ≡ 1  (mod 4 )    証明終わり！

takoハ · Answer

貴方は車なら、仮免許を取った段階で、自由に車を乗りこなせていると勘違いしている状態でしょう！暗記数学から理解数学への戸惑いでしょうか？でも、それが本来の中高校の数学ですね！高校なら、更に色々な知識の蓄積によって、色々な考え方によって問題が解けるその面白さを実感して欲しいね！良問は3-5種類の解き方あり！
基礎概念の理解から基本問題集で基本問題をやったくらいでしょうか！？50点くらいですね！理解→解くことで実践！
応用は、まず、解かないで、問題の意味を理解したらすぐに、解説を読んで理解してパターンがあるので、覚えることからはじめましょう！
初等幾何は、補助線の引き方がたくさんある場合が多いので、いろいろと考えてみましょう！

<高校入試> 整数問題について質問です。 (1)73=m^2+n+2となる整数m.nを1組みつけなさ

後半ですが、いいところに（と言うか、ようやく）気が付いてよかったですね。

>>両方とも偶数がダメなのはわかりました。

(1) は 優しすぎるので 変だとは思ったのですが。

(1)

（１）７３＝ｍ＾2+ｎ+2より ｍ＾2+ｎ＝71 ここでｍの値を適当に決めればｍ、ｎの組はいくらでも見つかります。

3) 実際には、647＜26^2なので、

1) 73＜9^2より1-8まで考えられる！例えば、m=8ならn=73ー2ー8^2=6

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