ドモアブルの公式を幾何学的に証明出来ないでしょうか？ 出来ればこちらのURL https://osh

ドモアブルの公式を幾何学的に証明出来ないでしょうか？
出来ればこちらのURL
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11029613.html
に載っているように番号を振って導く方法があれば、その方法を書いて頂けるとありがたいです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/04/12 17:08

なんかおんなじようなご質問を連投なさっている気がするが、ご質問のツボがはっきりしないんで、どの回答もツボに当たらないんだろうな。

　というわけで、当てずっぽうですが：

　　(u + i v) = (x + iy) (cosθ + i sinθ)
とおくと、展開すれば分かる通り
　　u = x cosθ - y sinθ
　　v = x sinθ + y cosθ
である。点は動かさないで座標軸を回すという見方をすると(図左)、x-y座標系での(x,y)とu-v座標系での(u,v)は同一の点であり、u-v座標系はx-y座標系に比べて、原点を中心にしてθだけ座標軸を回転したことになってます。
　さて、この座標(u,v)をx-y座標系の点として改めてプロットすると「点が原点を中心にθだけ回転した位置に移動した」という絵になるわけ(図右)。（「この点をu-v座標系に貼り付けたまんま、u-v座標系がx-y座標系と一致するように、ぐりぐりっと回す」というところをイメージすればご納得頂けるかな？）

　もっと別のところに点(x,y)がある場合でも大丈夫なのか？ということについては、簡単な幾何学ですから、ご自分で納得するまで調べるのが宜しいでしょう。（というのも、お求めなのは証明じゃなく、納得であろうと推察するからです。）

なので、
「複素平面上の任意の点 p = (x + i v) について、q = p (cosθ + i sinθ) は、pを原点を中心にθだけ回転した点 q = (u + i v) である」
ということになる。

　以上が呑み込めれば、あとは自明でしょう。