カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。


という昔からよくある話ですが、これについて数学に弱い人を含む多くの人を納得させられるような説明はできるのでしょうか。
Web上で見た説明は難しい物ばかりで数学に弱い私には良く分かりません。
できるなら小学生でも分かるような説明をどなたかお願いします。

A 回答 (14件中1~10件)

Shushouさんの回答通り、「アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。

」と言う所に無理があります。
例えば、1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+………と無限に足算をした場合、ある一定の値(この場合は2)には近づきますがその合計が無限になる訳ではありません。今の例ではアキレスの走る速さがカメの2倍の際の例で、追いつくまでの時間はアキレスとカメの距離を速度差で割った値の2倍の時間で追いつくことがわかります。つまり、この値までは追いつく事が出来ないわけです。
よって、「いつまでたっても」が間違いと言えば間違いです。
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この回答へのお礼

皆さん様々なお答え、アドバイスなどありがとうございます。

こんなにもたくさんの人からご意見が頂けるとは思ってもいませんでした。おかげさまで数学に弱い私にもようやく納得ができました。
一つの問題にこれほど多くの物の考え方があることにビックリです。これをきっかけに数学の勉強にも励みたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/29 23:42

アキレスと亀は、数学の事象を表す例題なのです。



アキレスが亀を追い越せないということ自体がレトリックなのです。
アキレスが亀を追い越してしまったら、目的とする数式が導き出せないために追い越せないという前提を科しているにすぎません。
それを成立させるために、アキレスと亀の時間は、計測時間を前回の半分にしていきます。これは同じ時間軸で計測させた場合、この例題が成立しないことを物語っています。
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>「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。

なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」

>のうちどこが間違っているのでしょうか。

皆さんのおっしゃっているように
アキレスは亀に簡単に追いつくことはできるんですから、
最後の1文の
”いつまでたっても”
が間違いです。正しい文にするにはこの部分を
”ある限定された短い時間の中では”
と変更すれば良いと思います。
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アキレスは死んでしまって(?)存在しませんが、話す小学生は居ますよね(笑)。


で、実際にカメを夜店にでも行って買ってきて、「ヨーイ・ドン」で走ってみて、、。
もし小学生がカメを追い越せないのであれば「追い越せなかった」と言う事実を、追い越せたのであれば「追い越せた」と言う事実を受け止めて、それを肯定する為の理論を組み立てられては???
頭の中で考えるより、行動して物理的な事実を見つめることも必要です。
で、結論ですが、皆さんが回答されておられる様に「追いつくまでの過程を述べていて、追い越してからの状況を考慮していない。」ことがパラドックスの原因です。
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この回答へのお礼

皆さん 様々なお答えありがとうございます。

お答えを見てみると最大のポイントは「時間を勝手に限定している」ということなのでしょうか。
そうだとしたら私が最初に書いた文

「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」

のうちどこが間違っているのでしょうか。
それとも「ここが間違っている」とはっきりは決められないのでしょうか。
どなたかお願いします、教えて下さい。

お礼日時:2001/07/29 18:42

[アキレス]が走り始めてから、[カメ]との距離を半分にするのに8秒かかったとします。


更にその残りの距離を半分にするのに、4秒かかったとします。
更に更に、その残りの距離を半分にするのに2秒かかります。
更に更に更に半分にするには、1秒。
そのまた半分にするには0.5秒かかるわけです。

[アキレス]が[カメ]に近づくにつれてスローモーションになるカメラをイメージしてみてください。カメラは、[アキレス]の肩に据え付けてあります。

[アキレス]が走り始めたときは、ごく普通に映像が映りますが、カメに近づくにつれ、[アキレス]は徐々にゆっくりとした動きになるはずです。
彼がカメに追いつく一瞬前になると、彼の動きは空中で静止したまま、ピクリとも動かなくなるでしょう。
丁度、某車のCMみたいな感じですね。走ってる車が空中でぴたっと動きを止め、その周りをカメラがぐるっと回るやつ。
で、時が動き始めると車が颯爽と走り出すのと同様、アキレスのカメラも、スローモーション機能のスイッチを切ると同時に、[アキレス]がひょいとカメをまたぎ越えていくわけです。

もし彼が、スローモーション機能のないカメラを担いでいるとしたら、彼は易々と[カメ]を追い越しているように見えることでしょう。

ってことで、このパラドックスが教えているのは、物事をどのような視点で観察するかによって、その見え方がまったく変わってくるってことなんです。

特殊なスローモーション機能を備えた目でみれば、私たちが普段見ている風景と異なる、「アキレスがカメを追い越せない世界」を写し取ることが出来るんですね。

でも、だからといって、[ア]が[カ]を追い越せないわけじゃないです。例えば、カメラを逆回しにして[アキレス]を撮影すれば、彼は後ろ向きに走ってるように見えるし、カメラを回す速度を10分の一にして撮影すれば、アキレスが10倍の猛スピードで走ってるような映像が撮れます。

どのような撮影方法をしても結局は、[ア]が[カ]を追い越すんですが、撮影方法のトリックを使えば、あたかもカメを追い越せないような錯覚を与える映像を撮ることが出来るんですね。
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アキレスが一度もカメを追い越さないからです。


話の中で、アキレスはカメのもといた位置までしか進ませないので、
いつまでたっても追い越せないし、追い付くこともできないのです。
話の中でカメの前10mまで進ませたら、
追い越したし、追いついたことにもなります。

話の中で、カメを追い越さないどころか、
追い付けない位置(もといた位置=追いついていない)までしか、
進ませていないのですから、当然だと思います。
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あくまで小学生向けということで書きます。



まず、アキレスがカメにあと10cmまでせまったところ
を想像してもらいましょう。

そこでアキレスが次の1歩を踏み出すと...
カメをまたぎ越してしまいましたとさ。
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#4で書き忘れました。

本題「なぜアキレスは亀に追いつけるか?」について説明していませんでした。

アキレスが亀に追いつくためには、「競争時間の制約」を取り外すことが必要です。
つまり、「競争時間を、アキレスが亀に追いつく直前までに制限する」という、元の問題に勝手に付けられた暗黙の制約を取り外し、「競争中の時間の流れを一定とし、かつ制限を設けない」という、実生活上、非常に当たり前な条件にすれば良いのです。

ふたたび、亀はアキレスの10m前にいて、アキレスは10m/秒、亀は5m/秒の速度とします。
スタートして1秒後にアキレスは亀のスタート位置にいて、亀は5m先に進んでいます。ここまでは何も変わりません。
次の1秒後には、合計で2秒間走っていることになり、アキレスは「10m/秒 X 2秒=合計20m」進み、亀は「ハンデ10m+5m/秒 X 2秒=合計20m」進んでおり、これでアキレスは亀に追いつきます。
一度追いつけばアキレスの方が早いのですから、2秒をちょっとでも過ぎれば、アキレスの方が亀の前にいます。
もちろん、3秒目にはアキレスは亀の5m前にいます。

こんな感じでどうでしょうか?
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僕もこの手の「パラドックス」に興味を持った事があり、中学の時にこの


「アキレスとカメ」を友人から教わりました。

当時、僕も友人も頭をひねり、色々と証明を考えましたが。

一番、明確で理解しやすい説明方法は・・・・

『論より証拠』って御存知??←失礼。m(__)m

実際にカメを追い抜いてみました。(笑)(当時14歳)

夜市で入手した「銭亀」と実際に競争しましたが、楽勝で追い抜けます。(当然ですが)

で、結局「『さっきカメのいた場所に今着いた!』って立ち止まるヤツはいない。」
って言うのが中学生の結論でしたね。(実にシンプル)

余談:
似た話に「壁に矢はいつまで経っても刺さらない」ってのもありましたね。。(^^ゞ
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kokirikoさんの紹介ページで論点がわかりました。


要するに、まずカメが1000メートル先を行っているとします。
アキレスが1000メートル地点に来た時、カメがアキレスの半分の速さであったとして、アキレスの500メートル前にいることになります。
で、アキレスがさらに500メートル先に進むと、カメはその250メートル前にいる、ということですね。

うーむ。
つまり、この問題がおかしいのは、速さは一定で計算していますが、時間を無視しているように感じるのです。
もちろん、時間が速さのために重要な役割を果たしているのはわかるのですが。

まずですね、1000メートルにアキレスが3分かかるとしましょう。
500メートル動くのには1分半。
250メートル動くのには45秒。
あれれ、どんどん時間が半分になっているのです。
つまり、時間が0に限り無く近付いているのです。
一方、足される距離はどうでしょう。
(1/2)+(1/4)+(1/8)+…=限り無く1に近付くだけ
という決まりがありますね。
つまり、このやり方では、アキレスが6分走った時の記録は、限りなく近い数値しか出てきません。
だから、アキレスが6分以上経ってカメを抜かすかどうかはわからない。

この問題では、アキレスはカメとの間にある無限の点を通らなくてはならないので追いこせないと言いますが、そんなことはない。
なぜなら、カメだって、アキレスに追われつつ真っすぐ無限の点を通ることになるのですから。

これでどうでしょう?
え、わかりにくいですか?
じゃあカメの側から見てみるっていう手があります。
カメの速さがアキレスの半分だったとします。(話と計算をわかりやすくするため)
今、1000メートル離れています。
カメが500メートル進むと、アキレスはカメから見て後ろ500メートルの位置にいます。
カメがさらに250メートル進むと、アキレスは後方……0メートル? おや、並んでいます。
こういうことなんですよ。
カメがさらに125メートル進むと、アキレスは後方マイナス250メートル、ってことは前方250メートル。
抜かされちゃうってことですよ。現実は。

これでどうかなぁ。
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Qアキレスと亀

アキレスがいるのは基準点の位置(0m)です。
もう一方の亀はアキレスから10m離れた位置にいます。

よ~いドン!で同時に同じ方向に進むとします。
もちろんアキレスは亀を追いかけます。
スピードは、アキレスが1m/秒、亀は0.1m/秒です。

基準点から見て何m(何秒)でアキレスと亀は並ぶでしょうか?

どうやって計算するかも書いて下さい。
出来たら+-×÷だけでお願いします。

Aベストアンサー

普通に解けば小学生の問題です。すでに前の方が回答されているように1秒間にアキレスは亀に1-0.1=0.9 mずつ近づくということから答えはでます。10mをこの数字(0.9m/sec)でわった秒数で追いつきます。
そう考えないのなら、
1.初めに亀のいたところまで10m/(1m/sec)=10secで行く。この時亀は0.1x10=1m進んでいる。
2.二回目に亀のいたところまで1m/(1m/sec)=1secで行く。この時亀は0.1x1=0.1m進んでいる。
3.三回目に亀のいたところまで0.1m/(1m/sec)=0.1secで行く。この時亀は0.1x0.1=0.01m進んでいる。
.........
となります。これよりアキレスが次々と費やしている時間は
10+1+0.1+0.01+....
となり初項10、公比0.1の等比級数になることがわかります。(収束値;10/0.9=11.1111...)しかし、この級数の和の公式をしらなくても
合計時間=11.1111...(sec)
となるのは和の形を見ただけで目視でわかります。そしてまさにこの時刻に並びます。
いつまで経っても追いつかないという話ではなく、この思考法だと考えている時間の範囲が無限に続かず、有限の値に収束してしまうのです。

普通に解けば小学生の問題です。すでに前の方が回答されているように1秒間にアキレスは亀に1-0.1=0.9 mずつ近づくということから答えはでます。10mをこの数字(0.9m/sec)でわった秒数で追いつきます。
そう考えないのなら、
1.初めに亀のいたところまで10m/(1m/sec)=10secで行く。この時亀は0.1x10=1m進んでいる。
2.二回目に亀のいたところまで1m/(1m/sec)=1secで行く。この時亀は0.1x1=0.1m進んでいる。
3.三回目に亀のいたところまで0.1m/(1m/sec)=0.1secで行く。この時亀は0.1x0.1=0.01m進んでいる。
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Qライブに行ったことある人教えて下さい(できれば広島厚生年金会館のライブに行ったことある人)

すいません。今度ライブに行くことになったんですけど、
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広島駅から厚生年金会館はかなり遠いです。歩こうと思えば無理な距離ではありませんが、20分以上歩くようになると思います。広島の厚生年金会館って本当に判りにくいところにあって、市電(路面電車)の駅が近くに無いし。バスだと「厚生年金会館前」っていうバス停があったので、駅から乗れると思います。私は乗ったことがないので、駅で聞いてみるか、厚生年金会館の方へTELして聞いてみるか、バス会社に直接TELして聞いてみるか(多分、広電バスか広島バスです)された方がいいと思います。すみません。バスで行ったことなくて、あまり詳しくは判らなくて。
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荷物チェックですが、これは厚生年金会館のライブに限らずどこでもあります。チケット渡して会場に入ったところで、「カバンの中、見せて下さい」っていわれます。でも、カバンの口から中を見るだけで中身を掻き回されるようなことはありません。
席の前が通路ということですが、柵というか低い壁(腰くらいの高さだったと思います)があります。

行き方について詳しく回答できなくてすみません。

kyozoさん 追加の質問があったのに答えるのが遅くなってしまってすみません。出掛けてしまってたもので。

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Q説明する数学

下のように並んでいる□の個数の求め方をアとイの式に表しました。それぞれ,どのように考えたのかを説明しましょう。ア5×5-4 イ3×3+3×4

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です。
m^2およびmは整数なので、m^2-m+0.25およびm^2+m+0.25の小数部は0.25
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Q外国人の妻の姓を私の姓にしたい。

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もしも妻が日本人で、夫が外国人の場合、結婚後6ヶ月以内なら妻の姓を外国人の夫の姓に変えられることもわかりました。
しかし、逆に夫が日本人で妻が外国人の場合、どうしたらいいのかという情報が見つかりません。
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ご存知の方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

男女問わず国際結婚をした日本人配偶者が外国姓へ変更する事は可能です。

しかし753さんが奥様の姓に変更することは可能ですが、
奥様が日本姓に変更することは不可能です。
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私の友人(外国人女性)も日本人と結婚し、
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配偶者が日本人の場合は簡単な手続きで登録できるようです。

Q受験数学 積分の問題の説明お願いします。

積分の表記があっているのか分からないのですが、ご了承ください。

∫[-1,1]f(x)dx ←積分区間-1から1です。
=∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
=2∫[0,1](x^2+q)dx

ここの変形がよく分かりません。


∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx

だと思ったのですが、正答で何がされたのかが分かりません。

Aベストアンサー

>=∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
ここで被積分関数を偶関数部と奇関数部に分けます。
=∫[-1,1]((x^2+p)+(-4x))dx
=∫[-1,1](x^2+p)dx+∫[-1,1](-4x)dx
偶関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[0,1]の積分の2倍になり
奇関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[-1,0]と[0,1]での積分が±打ち消してゼロになるので

=2∫[0,1](x^2+p)dx+0

>=2∫[0,1](x^2+q)dx
正答のqは間違いで次式のようにpが正しいです。

=2∫[0,1](x^2+p)dx

質問者さんの
>∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
>=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx
は間違いです。
なぜなら
被積分関数の奇関数部の積分を半区間[-1,0]と[0,1]に分けると
∫[-1,1](-4x)dx=∫[-1,0](-4x)dx+∫[0,1](-4x)dx
=[-2x^2][-1,0]+[-2x^2][0,1]
={0-(-2*(-1)^2)}+{(-2*1^2)-0}= 2 + (-2) = 0
と前半区間の積分と後半区間の積分が±打ち消して0になります。
なので
偶関数部の積分だけが残り、半区間[0,1]の積分の2倍になります。

>=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx
これを書き換えると
=2∫[0,1](x^2+p)dx +2∫[0,1](-4x)dx
となって
奇関数部の対称区間[-1,1]の積分が正側の半区間[0,1]の2倍となるといった勘違いをしてしまっているのです。
負側の半区間[-1,0]の積分と正側の半区間[0,1]の積分が符号反対でプラスマイナス打ち消して和(=対称区間の積分)はゼロになるはずです。

>=∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
ここで被積分関数を偶関数部と奇関数部に分けます。
=∫[-1,1]((x^2+p)+(-4x))dx
=∫[-1,1](x^2+p)dx+∫[-1,1](-4x)dx
偶関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[0,1]の積分の2倍になり
奇関数の対称区間[-1,1]での積分は半区間[-1,0]と[0,1]での積分が±打ち消してゼロになるので

=2∫[0,1](x^2+p)dx+0

>=2∫[0,1](x^2+q)dx
正答のqは間違いで次式のようにpが正しいです。

=2∫[0,1](x^2+p)dx

質問者さんの
>∫[-1,1](x^2-4x+p)dx
>=2∫[0,1](x^2-4x+p)dx
は間違いです。
なぜなら
被積分関数の...続きを読む

Q年末調整 夫より収入が少ない妻が、3人の内1人子供を妻の扶養に入れられる?その場合、妻は夫の扶養に入れない?

会社の事務をしています。
社員の年末調整の質問です。

夫は収入が国民年金の全額免除を受けられるくらいの収入(自営業)、妻はパート収入が110万です。
子供は高校生1人と小学生2人です。

妻は夫の特別配偶者控除にして、子供3人も夫の扶養親族にすれば
ややこしくないのですが…

このままだと妻に市民税がかかってきます。
そこで、3人の子供(1人は18歳)のうち、1人を扶養に入れたら市民税が発生しないと思うのですが…

収入差があっても扶養のつけかえはしてもいいのでしょうか?

子供を妻の扶養に入れたら、夫は妻と子供1人の扶養がはずれて
子供2人しか扶養に入れらなくなりますか?
そうした方がかえって損ですか?

Aベストアンサー

>収入差があっても扶養のつけかえはしてもいいのでしょうか?

それは可能ですね。

>このままだと妻に市民税がかかってきます。
そこで、3人の子供(1人は18歳)のうち、1人を扶養に入れたら市民税が発生しないと思うのですが…

住民税だけでなく所得税もだと思いますが。

>子供を妻の扶養に入れたら、夫は妻と子供1人の扶養がはずれて
子供2人しか扶養に入れらなくなりますか?

そうではなく妻は子供ひとりを扶養控除。
夫は妻を配偶者特別控除、子供二人を扶養控除となります。

>そうした方がかえって損ですか?

損か得かは判りません。
一番良いのは子供3人共に夫の控除にすること、妻の所得税や住民税の減額より夫の控除に依る減額のほうが大きいですから。
ただその控除が引ききれずに余るようであれば、妻のほうに廻せば得になるということはあるかもしれません。
ですがその控除が引ききれるのか引ききれないのかは夫の所得の金額によります。
ですが

>夫は収入が国民年金の全額免除を受けられるくらいの収入(自営業)

これでは162万以下であるということが判るだけで、あまりにも幅が広すぎます。
もう少し具体的な金額を書かなければ無理でしょう。

>収入差があっても扶養のつけかえはしてもいいのでしょうか?

それは可能ですね。

>このままだと妻に市民税がかかってきます。
そこで、3人の子供(1人は18歳)のうち、1人を扶養に入れたら市民税が発生しないと思うのですが…

住民税だけでなく所得税もだと思いますが。

>子供を妻の扶養に入れたら、夫は妻と子供1人の扶養がはずれて
子供2人しか扶養に入れらなくなりますか?

そうではなく妻は子供ひとりを扶養控除。
夫は妻を配偶者特別控除、子供二人を扶養控除となります。

>そうし...続きを読む

Qこの数学の疑問論理的に説明してくれる方いませんか??

12本のくじの中に当たりくじ3本ある。このくじをA,B2人がこの順に1本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとに戻さないとする。

1Aが当たり、Bがはずれる確率を求めよ。

この問題なのですが乗法定理を使うらしいです。
解き方は3/12×9/11=9/44でした。
しかし、この解き方に少し疑問を感じます。
当たりくじはA、B、Cとします
確かに1人目と2人目では引く確率が異なる。それはイメージできるんですが、2人目の確率9/11ということは全事象は11通りということは
減るもんが当たりくじAかもしんないし、Bかもしんないし、Cかもしないということを考慮してないように思えるのですが、、、
うまい解釈を教えて下さい。

Aベストアンサー

>Aが当たり、Bがはずれる確率を求めよ。
とは正確に言うと最初にくじを引くAは当たりくじを引き、「かつ」2番目に引いたBはハズレくじを引く、という確率を求めよ。ということですね。
このように「ある事象が起き、かつ続いてある事象が起こる」というような場合には「乗法定理」を使います。
つまり、求める確率=(最初の事象が起きる確率)x(続いて次の事象が起きる確率)。です。

まず最初の事象(Aがあたりを引く)の確率を考えます。これは12本のうちあたりが3本ですから、当然、3/12 の確率となります。
続いてBがハズレを引く確率を考えます。このとき、すでにAが一本くじを引いた後で、かつ、あたりを引いているのですから、残っているくじは全部で11本。その中にはあたりが2本、ハズレが9本入っているのです。
その前提でくじを引くのですから、Bがハズレを引く確率は、9/11 です。
よって求める確率は、3/12x9/11 となります。
>減るもんが当たりくじAかもしんないし、Bかもしんないし、Cかもしないということを考慮してないように思える。
上記の説明でわかるように、Aが引いた当たりが3本のうち、どれであるかは、まったく関係がない、のです。どれであろうと、結局Bがくじを引く時点では「ハズレくじは11本中に9本残っている」ということだけが重要です。

>Aが当たり、Bがはずれる確率を求めよ。
とは正確に言うと最初にくじを引くAは当たりくじを引き、「かつ」2番目に引いたBはハズレくじを引く、という確率を求めよ。ということですね。
このように「ある事象が起き、かつ続いてある事象が起こる」というような場合には「乗法定理」を使います。
つまり、求める確率=(最初の事象が起きる確率)x(続いて次の事象が起きる確率)。です。

まず最初の事象(Aがあたりを引く)の確率を考えます。これは12本のうちあたりが3本ですから、当然、3/12 の確率...続きを読む


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