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数学III 分数不等式の問題です。
(3)の解説が解りません。どうしてこの答えになるのか教えて頂きたいです。

「数学III 分数不等式の問題です。 (3」の質問画像

A 回答 (5件)

代数的に解きましたが、解説は図形的に解いているようです!



y=1/(xー1) とy=1 との大小関係から導き出しています。つまり、
前者のグラフはx=1を漸近線とする反比例・双曲線のグラフを書いて、

その上に、y=1を引けば、
左辺<右辺は、1<x<2の範囲が、y=1よりも上なので、

1>x または 2≦xとなる!
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場合わけしているだけ!


xー1=0 ∴x=1のとき 分母=0で定義されない!

xー1>0 ∴x>1……(1)のとき、通分して1≦xー1 ∴2≦x ……(2)
よって、(1),(2)をみたすのは、2≦x

xー1<0 ∴x<1 ……(3)のとき、通分して1≧xー1 ∴ 2≧x ……(3)
故に、(3),(4)を満たすのは、1>x

まとめて、1>x または 2≦x
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まあ普通にやれば、


1/(x-1) ≦ 1 ⇔ ((x-1>0 かつ 1≦x-1)または(x-1<0 かつ 1≧x-1))
⇔ ((x>1 かつ 2≦x)または(x<1 かつ 2≧x))
⇔ (2≦x または x<1)
なんだけども。
1/(x-1) ≦ 1 の分母を払うときに、x-1 の符号で場合分けが要るからね。

1/(x-1) = 1 を経由する方法は、
1/(x-1) - 1 の符号が変化する x は 1/(x-1) - 1 が不連続になるところか
1/(x-1) - 1 の値が 0 になるところに限られる というカラクリに依る。
x = 1 と x = 2 が符号変化の候補点となるから、
x<1, 1<x<2, x=2, 2<x の各範囲で 1/(x-1) ≦ 1 が成り立つか?を
確認すれば、解は x<1 と 2≦x であることが判る。
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分数不等式は、いちいちグラフを描くより、No.1のように、分母の2乗(必ず正の数なので、不等号の向きが変わらない)を両辺に掛けて解くのをお勧めします。

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解説とは違う回答になりますが、イコールとおいて考えるよりこちらのほうが悩みが少ないかと思います。



まず、xは1でないことは明らかです。
また、実数の2乗は必ずプラスになります。

1/(x-1)≦1

両辺に(x-1)^2をかけると、

x-1≦(x-1)^2
x-1≦x^2 - 2x + 1
x^2 - 3x +2≧0
(x-1)(x-2)≧0
x≦1, x≧2

ここで、x≠1であるため、x=1は除外されます。
よってx<1, x≧2(答え)
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