(1)番教えてください！

(1)番教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/04/14 15:34

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)・・・①　の両辺にz³-3xyzを足すと、

x³+y³+z³-3xyz=(x+y)³+z³-3xy(x+y)-3xyz=(x+y)³+z³-3xy(x+y+z)②

ここで右辺の(x+y)³+z³に対して(x+y)を①のx、ｚを①のyとして①をそのまま使うと

(x+y)³+z³={(x+y)+z}³-3(x+y)z{(x+y)+z}=(x+y+z)³-3(x+y)z(x+y+z)

∴②右辺=(x+y+z)³-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z)

=(x+y+z){(x+y+z)²-3(x+y)z-3xy}

{}内を展開して整理すると

=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-xz)

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/04/14 15:20

x^3 + y^3=(x+y)^3 - 3xy(x+y)なので、

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
=(x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz
=(x+y)^3 + z^3 - 3xy(x+y+z)

ここで、w=x+yとすると、

w^3 + z^3 - 3xy(w+z)
=(w+z)^3 - 3wz(w+z) - 3xy(w+z)
=(w+z)^3 - 3(wz+xy)(w+z)
=(x+y+z)^3 - 3((x+y)z+xy)(x+y+z)
=(x+y+z)^3 - 3(xy+yz+zx)(x+y+z)

ゆえに、x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz=(x+y+z)^3 - 3(xy+yz+zx)(x+y+z)