ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

和を求める時に使うa_{n}=b_{n+1}-b{n}
a_{n}=b_{n}-b_{n+1},a_{n}=b_{n+2}-b_{n}などの形の覚えておくと良い恒等式を出来る限り教えて下さい.

質問者からの補足コメント

  • ex, log(1+1/n)= =log(n+1)-log(n)

      補足日時:2019/04/15 23:37

A 回答 (1件)

和を求める時に使うa_{n}=b_{n+1}-b{n}


a_{n}=b_{n}-b_{n+1},a_{n}=b_{n+2}-b_{n}などの形の覚えておくと良い恒等式を出来る限り教えて下さい。>

およそ3通りに分けて述べる。
1、 nの多項式
a(n)がnの多項式の時は、かならず、b(n)を求めることができる。
そのために使う一連の公式を示す。記号に添え字の番号を付ける。
b₀(n)=nのとき、a₀(n)= b₀(n)-b₀(n-1) = n-(n-1)=1__①
だからa₀(n)=1の和を求めることができる。
b₁(n)=n(n+1)/2のとき、
a₁(n)=b₁(n)-b₁(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n__②
だからa₁(n)=nの和を求めることができる。
f₁(n) = a₁(n)=nと置く。
b₂(n)=n(n+1)(n+2)/3のとき、
a₂(n)=b₂(n)-b₂(n-1)=n(n+1)(n+2)/3―(n-1)n(n+1)/3=n(n+1)_③
だからa₂(n)= n(n+1)の和を求めることができる。
b₃(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4のとき、
a₃(n)=b₃(n)-b₃(n-1)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4-(n-1)n(n+1)(n+2)/4=n(n+1)(n+2)__④
だからa₃(n)¬= n(n+1)(n+2)の和を求めることができる。
b₄(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5のとき、
a₄(n)=b₄(n)-b₄(n-1)
 =n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)/5
 =n(n+1)(n+2)(n+3)__⑤
だからa₄(n)¬= n(n+1)(n+2)(n+3)の和を求めることができる。
 ・・・・・・
bk(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+k-1)/kのとき、
ak (n)¬=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+k-2)_⑥
だからak (n)¬=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+k-2)の和を求めることができる。
2、任意の多項式のためのx^k
準備として、k=0と1の場合に、f₀とf₁の文字を使うため、
a₀(n) =1とa₁(n)=nの式とb₀(n)=n とb₁(n)=n(n+1)/2について、
文字a,bをf,gに置き換えると、g₀(n)=n_⑦ とg₁(n)=n(n+1)/2_⑧
g₀(n)-g₀(n-1)= f₀(n) =1_⑨とg₁(n)-g₁(n-1)= f₁(n) =n_⑩の式ができて、次に使う。
式③から式⑩を引く。③のa₂(n)から⑩のf₁(n)を引いたものをf₂(n)とすると
f₂(n)= a₂(n)-f₁(n)である。
この式の和を求めるには、文字aとfをbとgに変えればよい。
g₂(n)=b₂(n)-g₁(n)=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
 =n(n+1)((n+2)/3-1/2) = n(n+1)(2n+1)/6__⑪
すると、g₂(n)-g₂(n-1)= f₂(n)=n²__⑫ となるから、
f₂(n)=n²の和を求めることができる。
次にf₃(n)=a₃(n)-3f₂(n)-2f₁(n)
 = n(n+1)(n+2)-3n²-2n= n³__⑬
この式のfをgに、aをbに変えた式は、
 g₃(n)=b₃(n)-3g₂(n)-2g₁(n)
 =n(n+1)(n+2)(n+3)/4-3n(n+1)(2n+1)/6-2n(n+1)/2
 =n(n+1){(n+2)(n+3)/4-(2n+1)/2-1}
 =n(n+1){(n+2)(n+3)-2(2n+1)-4}/4=n²(n+1)²/4__⑭
すると、g₃(n)-g₃(n-1)= f₃(n)=n³__⑮ となるから、
f₃(n)=n³の和を求めることができる。
αβγδを定数として、f(n)=αn³+βn²+γn+δとしたとき
g(n)=αg₃(n)+βg₂(n)+γb₁(n)¬+δb₀(n)
  =αn²(n+1)²/4+βn(n+1)(2n+1)/6+γn(n+1)/2+δn__⑯とすると
  g(n)-g(n-1)= f(n)=αn³+βn²+γn+δ__⑰となるから、
f(n)=αn³+βn²+γn+δの和を求めることができる。任意の3次式の和が出る。
同じやり方を続ければ、4次、5次もできる。
3、 分数式
q₁(n)=-1/(n+1)のとき、
p₁(n)=q₁(n)-q₁(n-1)=-1/(n+1)+1/n=1/n(n+1)__⑱
だからp₁(n)= 1/n(n+1)の和を求めることができる。
q₂(n)=-1/(n+1)(n+2)のとき、
p₂(n)=q₂(n)-q₂(n-1)=-1/(n+1)(n+2)+1/n(n+1)
  =2/n(n+1)(n+2)__⑲
だからp₂(n)= 2/n(n+1)(n+2)の和を求めることができる。
q₃(n)=-1/(n+1)(n+2)(n+3)のとき、
p₃(n)=q₃(n)-q₃(n-1)
=-1/(n+1)(n+2)(n+3)+1/n(n+1)(n+2)=3/n(n+1)(n+2)(n+3)__⑳
だからp₃(n)= 3/n(n+1)(n+2)(n+3)の和を求めることができる。
 ・・・・・・
qk(n)=-1/(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+k)のとき、
pk(n)¬= qk(n)-qk(n-1) =-1/(n+1)(n+2)・・・(n+k)+1/n(n+1)・・・(n+k-1)
=k/n(n+1)・・・(n+k)_㉑
だからpk(n)=k/n(n+1)(n+2) ・・・(n+k)の和を求めることができる。
4、 そのほかは、a_{n}=b_{n+2}-b_{n}を利用するものなど。
log(1+1/n)= =log(n+1)-log(n)のように特殊関数を使ったものも、
sin(α(n+1)+β)-sin(αn+β)=2sin(α/2)cos(αn+α/2+β)
cos (α(n+1)+β)-cos (αn+β)=-2sin(α/2)sin(αn+α/2+β)
多くはない。
ただし、無限級数には、重要な公式が非常に沢山ある。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2019/04/17 23:46

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q計算が合わないのですが、原因がわかりません。 単位円であるためtanθは1とします。直角三角形BEW

計算が合わないのですが、原因がわかりません。
単位円であるためtanθは1とします。直角三角形BEWを作ります。
EQ=sinθ
AB=tanθ=1
BW=1- sinθ

AO=1
OQ=cosθ
EW=1-cosθとなり、
三平方の定理より
BE=3-2 sinθ-2cosθ①となります。

次に直角三角形OAB作ります。
OBが1/cosθとなるので
OB=1+EBより
1+EB=1/cosθとします。
(1+EB)^2=(1/cosθ)^2と置いて
1+2EB+EB^2=1/cosθ^2とした際に
1+tanθ^2=1/cosθ^2より
2EB+EB^2=tanθ^2とします。
1+2EB+EB^2=1+tanθ^2として、
(1+EB)^2=1+tanθ^2
EB=√(1+tanθ^2)-1②となります。

最後に、①と②が同じか確認するためにθ=0の時、
①は1となりますが、②は0となり計算が合いません。
どこで間違ったのでしょうか?

Aベストアンサー

いやだから
( tanθ+ sinθ)^2+(1- cosθ)^2= BE^2
は誤り。
( tanθ- sinθ)^2+(1- cosθ)^2= BE^2
ですよね。

Q数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

実際に計算してみましたか?
A(a, a^2), B((a+1), (a+1)^2) とするとΔABCの外心のの座標K(X, Y)は、線分OA, 線分OBの各垂直二等分線の交点です。
少々複雑ですが計算すると、
X=(-a/2)(a+1)(2a+1), Y=(1/2)(3a^2+3a+2).
を得ました(計算ミスの可能性もあり)。
lim[a→0] X, lim Y を計算してください。
------------------
※ K(0, 1), 半径1の円。

Q1+2+3+4+...=-1/12はどうやっても成り立つものなのでしょうか

ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...になるのは式の上で簡単に分かります。
ゼータ関数を解析接続で拡張したあとに-1を入れたら-1/12になるのはそうなんですねといった感じですが、ゼータ関数以外を使って1+2+3+...(のようなもの)を計算したときに-1/12以外にはならないのでしょうか。
ある定義域外の値を入れると式の上で「1+2+3+...」になるような、部分的に定義された正則な関数はゼータ関数以外にもありえそうな気がするのですが、その関数を解析接続で拡張し、その拡張された関数を使って1+2+3+...のようなものを求めても必ず-1/12になるのでしょうか。
また、自然数の総和以外にも、他の本来収束しない数列などに対して解析接続によって与えられる値はどうなのでしょうか。

関数f(z),g(z),発散する数列Anがあり、
ある値p,qがあってf(p)とg(q)が共にAnの極限と式の上で一致し、
しかしf,gをそれぞれ解析接続して得た関数F,GによるF(p)とG(q)は異なる、
といった場合はあり得るのでしょうか。

式の上で一致、という言葉がかなり曖昧ですが初学者の興味ということで…

ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...になるのは式の上で簡単に分かります。
ゼータ関数を解析接続で拡張したあとに-1を入れたら-1/12になるのはそうなんですねといった感じですが、ゼータ関数以外を使って1+2+3+...(のようなもの)を計算したときに-1/12以外にはならないのでしょうか。
ある定義域外の値を入れると式の上で「1+2+3+...」になるような、部分的に定義された正則な関数はゼータ関数以外にもありえそうな気がするのですが、その関数を解析接続で拡張し、その拡張された関数を使って1+2+3+....続きを読む

Aベストアンサー

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 だと言いたがる人は
ある程度以上に数学が解る人の中にも多く、
困ったものだと感じています。
素人を困惑させることが、そんなに楽しいのでしょうか。
数学の楽しみは、ものごとをちゃんと考えることにあるので、
あえて話をわかりにくくして「これがロマンだ」みたいな
ことを言われても、なんだかなあな印象です。
そういうアプローチじゃないことが数学のロマンなんだと、
数学者でない私は考えています。

ゼータ関数 ζ(s) が Re(s) > 1 で ζ(s) = Σ1/n^s と表されることと、
ζ(-1) = -1/12 であることは事実ですが、
ζ(s) が Σ1/n^s で表されるのは Re(s) > 1 の範囲でだけです。
関数の級数表示は収束域が制限される場合があるからこそ、
解析接続に意味があるのです。
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 という式は、ζ(-1) = -1/12 を意味しません。
その式は、左辺が発散しているだけの、成立しない等式です。

Q運動エネルギー

運動エネルギーは(mv^2)/2ですが
なぜ運動量mvをvについて積分した式なのでしょうか
個人的には運動量のほうが運動エネルギーに思えます

Aベストアンサー

加えた仕事が、エネルギーの変化分です。
エネルギーの初期値をゼロにすれば、加えた仕事はエネルギーそのもの。

加えた仕事は、「力」を変位で積分したものです。(高校物理では、「力」を一定にするので「力の距離の掛け算」)
つまり
 W = ∫Fdx = ∫(ma)dx = m∫(dv/dt)dx = m∫(dx/dt)dv = m∫vdv = (1/2)mv^2

初期値をゼロにするのでなければ、積分を「定積分」にしてください。そうすれば「変化分」になります。

Qサラスの公式

サラスの公式について質問します。面積とか体積を求めるほうです
一般のn次元の場合のサラスの公式はないんでしょうか

Aベストアンサー

「斜めに掛けた」と言ったのは、そのリンク先の「サラスの公式の覚え方」のことです。
あの図のことをサラスの公式と呼ぶのかと思っていました。
n! のほうを想定していたのなら、Wikipedia のあの式でよいでしょう。
ad-bc は、あの式で n=2 の場合ですね。

三角形の面積が |ad-bc|/2 になったり
正四面体の面積が |行列式|/6 になったりするのは、
行列式が n次元平行体の符号付きの n次元測度になるからです。
平行六面体の体積の 1/6 が正四面体の体積だとか、そんなこと。

Q逆数和の発散

調和級数や素数の逆数和は発散することが証明されてますが
合成数の逆数和は発散するのでしょうか

Aベストアンサー

偶数の逆数和は調和級数の1/2ですので当然発散します。(Σ[k:自然数]1/(2k)=(1/2)Σ[k:自然数] 1/k

合成数の逆数和は当然偶数の逆数和-1/2よりも大きいので(2以外の偶数は全て合成数)、合成数の逆数和は発散します。

Qどうやって画像のように tan(θ+dθ)から画像のように二回微分が得られるのでしょうか?

どうやって画像のように tan(θ+dθ)から画像のように二回微分が得られるのでしょうか?

Aベストアンサー

うーん...
「yってなんですか?」ってすべての質問に回らないといけないんですか?
いきなりyって言われても回答しようがありませんm(__)m

Q因数分解

a^2+b^2-2ab,a^3+b^3+c^3-3abcは因数分解できますが
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcdは因数分解できますか?(実数の範囲で)

Aベストアンサー

そうなんです.

なんなら d=0 として変数を 1個減らしてすら因数分解できない.

さすがに c=d=0 とすると因数分解できるけど.

Q数学得意な方! この問題できればすべて教えてください!

数学得意な方!
この問題できればすべて教えてください!

Aベストアンサー

4/9 16/3
-1 3/2

Q微積を使わずにsinθやcosθやネイピア数eの近似の式を導く方法はありますか? もし方法があれば、

微積を使わずにsinθやcosθやネイピア数eの近似の式を導く方法はありますか?
もし方法があれば、教えて欲しいです。

Aベストアンサー

ちなみに、どこから1/eは出てきたのでしょうか?また、なぜネイピア数に近づけるられるように作れたのでしょうか?>

すでにNo.6投稿の式②から⑤⑥⑦で説明したが、あまり理解されないようだから、実際に行う計算を示す。
(1−1/10⁷)^10⁷=a^10⁷≒1/e__① の計算を行う。
a=0.9999999__② を出発する。両辺を二乗すると、③となる。小数第7位以下は四捨五入する。
a²=0.99999980000001≒0.9999998__③両辺を二乗すると、④となる。 
a⁴=0.9999996_④二乗すると、指数の4は、倍々と増えて
a⁸=0.9999992_⑤二乗をあと4回繰返すと、128乗になる。途中を省略して、
a¹²⁸=0.9999872_⑥二乗をあと2回繰返すと、512乗になる。途中を省略して、
a⁵¹²= 0.9999488_⑦もう一回、二乗すると、1024乗になる。
a¹⁰²⁴= 0.9998976_⑧二乗をあと2回繰返すと、4096乗になる。途中を省略して、
a⁴⁰⁹⁶= 0.9995905_⑨二乗をあと3回繰返すと、32768乗になる。途中を省略して、
a³²⁷⁶⁸=0.9999872_⑩二乗をあと4回繰返すと、524288乗になる。途中を省略して、
a⁵²⁴²⁸⁸=0.9489219_⑪もう1度、二乗すると、1048576乗になる。
a¹⁰⁴⁸⁵⁷⁶=0.9004527_⑫二乗をあと4回繰返すと8388608乗になる。途中を省略して、
a⁸³⁸⁸⁶⁰⁸=0.4322026_⑬
⑥から⑬までの式を、左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、みな掛ける。
左辺の指数をみな加えると
128+512+1024+4096+32768+524288+1048576+8388608=10000000
だから左辺の積はa¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰となる。右辺の積は0.367879≒1/e_⑭が得られた。
逆数をとると1/0.367879=2.718282≒eである。
式⑭は式①の(1−1/10⁷)^10⁷_⑮を忠実に計算したものである。
式⑮は10⁷=nと書けば
(1−1/n)^n__⑯である。
次の公式はよく知られている。
lim[n→∞](1+x/n)^n=e^n__⑰
この式でx=-1とすれば、
lim[n→∞](1-1/n)^n=e^(-1)=1/e__⑱
⑱はnが→∞で1/eになる。n=10⁷は∞ではないが、非常に大きい数なので、近似式が成立する。

ちなみに、どこから1/eは出てきたのでしょうか?また、なぜネイピア数に近づけるられるように作れたのでしょうか?>

すでにNo.6投稿の式②から⑤⑥⑦で説明したが、あまり理解されないようだから、実際に行う計算を示す。
(1−1/10⁷)^10⁷=a^10⁷≒1/e__① の計算を行う。
a=0.9999999__② を出発する。両辺を二乗すると、③となる。小数第7位以下は四捨五入する。
a²=0.99999980000001≒0.9999998__③両辺を二乗すると、④となる。 
a⁴=0.9999996_④二乗すると、指数の4は、倍々と増えて
a⁸=0.9999992_⑤二乗をあと...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング