微積分学の質問 命題｢収束する数列{an}は有界である｣ を証明せよ。 この問題の解答を読んで分から

微積分学の質問

命題｢収束する数列{an}は有界である｣
を証明せよ。

この問題の解答を読んで分からないところは、最後の文章です。Kを｜a1｜,…,｜aNo｜,｜α｜＋εoの中で最大の値をKとする意味だと思うのですが、この中で最大の値は｜α｜ ＋εo なので、K=｜α｜ ＋εoとなり、｜an｜<｜α｜ ＋εoとなると思います。ここで疑問なのですが、なぜ｜an｜=K が含まれていますか？｜an｜ =｜α｜＋εになることがあるのですか？
まだよく分かっていないので、質問の意味がよく分からなかったらすみません。
ps.命題(1.2)とは最初に書いた問題のことです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/16 17:28

K=max{|a1,…,|aN0|,|α|+ε0}

n>N0ならば|an-α|<ε0→|an|<|α|+ε0
n>N0ならば|an|<|α|+ε0
なので
|a(N0+1)|,|a(N0+2)|,…,よりも|α|+ε0の方が大きいといっているだけで
{|a1,…,|aN0|}より|α|+ε0の方が大きいとはいっていません

{|a1,…,|aN0|,|α|+ε0}の中で最大の値は|α|+ε0ではありません

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2019/04/16 21:10

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/04/18 00:19

n>Noであれば確かに|a(n)|は|α|+εoよりも小さくなります。

しかし、この問題はn≦Noの場合も考えないといけません。
たとえばa(n)=10000/n+1
であるとしましょう。
α=1であり、仮にεo=1であるとするとNo=10000とおけばよいことになります。
ではa(n)の上界はα+1=2でしょうか?
違いますね。a(n)はn=1のとき最大値10001をとります。

このようにnがNoよりも小さいときのほうが絶対値が大きくなることもあるのです。

なぜ、解答でNoというものをおいているのか、という理由はn≦Noとなるnの個数は有限個にするためです。
有限個の数a(1),a(2),...,a(No)をとれば必ずどれかが最大となります(無限個だとこうはいえない)。
a(n)の上界はこの最大値かα+εoのいずれかであることがわかるでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ε-N論法を使いこなせるようにがんばります。

お礼日時：2019/04/18 00:39