Z=e^(x+y)について2変数のマクローリン展開を2次の項まで求め、それが1変数のマクローリン展開

Z=e^(x+y)について2変数のマクローリン展開を2次の項まで求め、それが1変数のマクローリン展開の積に等しいことを求めよという問題が出たのですが、この関数に限らず、多変数のマクローリン展開は各変数に関するマクローリン展開の積によって表すことができるのでしょうか。もしよろしければ上記の問題を解くことで説明して頂けますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/17 15:35

f(x, y)=e^(x+y) のとき、

(∂/∂x)f(0, 0)=(∂/∂y)f(0, 0)=1,(∂^2/∂x^2)f(0, 0)=(∂^2/∂x^2)f(0, 0)=1.
ですから、
f(0+h, 0+k)=1+{1*h+1*k}+(1/2!)*{1*h^2+1*2hk+1*k^2}...(*)
一方、
e^x=1+x+x^2/2!, e^y=1+y+y^2/2!. ですからこれをかけて３次以上を無視すると(*)
が得られます。
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※もちろんどんな関数もこうなるというものではありません。
e^(x+y)=e^x*e^y であるからです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/18 00:48

指数関数のマクローリン展開が e^z = Σ[k=0→∞](1/k!)z^k なので、

e^(x+y) を x,y のべき級数に展開すると、e^(x+y) = Σ[k=0→∞](1/k!)(x+y)^k です。
右辺で x,y について２次以下の項が現れるのは k が2以下の部分だけなので、
e^(x+y) の2次近似は Σ[k=0→2](1/k!)(x+y)^k = 1 + (x + y) + (1/2)(x^2 + 2xy + y^2).
これを、(e^x)(e^y) = { Σ[m=0→∞](1/m!)x^m }{ Σ[n=0→∞](1/n!)y^n } の
２次以下の項と比較せよということですね。
下式の右辺で x,y について２次以下の項が現れるのは m,n が2以下の部分だけなので、
{ Σ[m=0→2](1/m!)x^m }{ Σ[n=0→2](1/n!)y^n }
= { 1 + x + (1/2)x^2 }{ 1 + y + (1/2)y^2 }
= 1 + x + y + (1/2)x^2 + xy + (1/2)y^2 + { (1/2)xy^2 + (1/2)(x^2)y + (1/4)(x^2)y^2 }.
を計算して、上式と比較すればよいです。
確かに、2次以下の項が一致していますね。

k, m, n を ∞ まで残したまま { Σ[m=0→2](1/m!)x^m }{ Σ[n=0→2](1/n!)y^n } を展開して
各項を比較すると、e^(x+y) = (e^x)(e^y) を証明することもできます。

(e^x=1+x+x^2/2! は酷いなあ...)