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答えは、1/4 らしいのですが、何故ですか?

「答えは、1/4 らしいのですが、何故です」の質問画像

A 回答 (5件)

lim[h→0](ln(4+h)-ln(4))/h


=lim[h→0](1/h) ln((4+h)/4)
=lim[h→0](1/h) ln(1+(h/4))
=lim[h→0] ln(1+(h/4))^(1/h)
=lim[h→0] ln(1+(h/4))^((4/h)(1/4))
=lim[h→0] ln((1+(h/4))^(4/h))^(1/4)

t=h/4とすると、h→0はt→0に置き換えられる。

=lim[t→0] ln((1+t)^(1/t))^(1/4)
=ln(e)^(1/4) ※eは自然対数の底(またはネイピア数)
=(1/4)ln(e)
=1/4
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http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other …

lim h→0 ( log(4+h)ーlog4 )/h=lim h→0 (1/h)log (4+h)/4

=lim h→0 (1/h)log(1+h/4)
ここで、h/4=t とおけば、h→0の時、t=h/4→0より
=lim t→0 (1/4t)log(1+t)
=lim t→0 (1/4)log(1+t)^1/t
ここで、lim t→0 (1+t)^1/t =e ……ネイピア数なので、
lim t→0 log e=1より
=(1/4)lim t→0 log(e)e=(1/4)・1=1/4

ネイピア数の定義を復習しましょう!
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質問者さんの解答は1行目から2行目の式変形が間違っている。

イコールで結ぶことが出来ません。
No.1さんのように微分の定義を利用するという方針で解くのが正解。
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この手の問題では「微分係数の定義から」の方が安全 (少なくともロピタルの定理よりは) だと思うよ>#2.

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じゃ違う解法、ロピタルの定理で。


lim[x→c]f(x)/g(x)
=lim[x→c]f'(x)/g'(x)
から
lim[h→0]1/(4+h)/1
=lim[h→0]1/(4+h)
=1/4
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 <本当は、受け持ちの先生こそコテコテの大昔の考え方の先生かもしれません。でも、せっかくの高校入試を乗り切るためだと思って、反発したい気持ちを、卒業まで、ぐっとこらえてください>

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aaa,b,B,c,C の並べ方 5! のうち、b と B, c と C を同一視して、5!/2!2! 通り。
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