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問題
K郎(K∈{1,2,3,4,...}) は毎日、家の前から学校の前まで
バスに乗って10分かかって通学しています。ある日、バスが途中で故障したので、そこから歩いたら、いつもよりK*10分多くかかりました。歩く速さはバスの速さの(1/5)*Kでした。この日、K郎が歩いた時間は何分だったでしょうか。(次年度 KARA 武蔵中)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%A9%E8%A1%8C …

A 回答 (2件)

大人が普通に解くと、二次不等式の問題です。


中学入試のようですから、算数でやってみましょうか。

K郎の歩く速さはバスのK/5倍なので、同じ道のりを歩くと5/K倍の時間がかかります。
5/K倍かかっていつもより10K分長かったのだから、(5/K)-1倍が10×K分だということです。
この日K郎が歩いた時間は、いつもバスで10×K÷((5/K)-1)分かかっていたと判ります。
この時間が、いつものバスの10分の一部なのだから、10×K÷((5/K)-1)<10でないといけません。
ところで、一部を歩くといつもより長くかかるということは、K郎の速さはK/5<1です。
下の式を満たすK=1,2,3,4を上の式に入れてみると、成立するのはK=1の場合だけでした。
話題のK郎は1郎で、バスが動かなかった時間は10×1÷((5/1)-1)=2.5分ということになります。
この道のりを1郎が歩けば2.5×5/1=12.5分かかります。
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K郎が歩いた時間をx(分)


とすると
歩く速さは(1/5)Kb(m/分)
10b=d
bf+Kbx/5=d
b(f+Kx/5)=d
f+Kx/5=d/b=10
f+Kx/5=10
f=10-Kx/5
いつもより10K分多くかかったのだから
f+x=10+10K
↓f=10-Kx/5だから
10-Kx/5+x=10+10K
x-Kx/5=10K
x(1-K/5)=10K
x(5-K)=50K
x=50K/(5-K)

f+50K/(5-K)=10+10K
f=10+10K-50K/(5-K)
f=10{K+1-5K/(5-K)}
f=10{(K+1)(5-K)-5K}/(5-K)
f=10(5-K-K^2)/(5-K)>0
5-K>0
5-K-K^2>0
K^2+K-5<0
(K+1/2)^2-21/4<0
{K+(1+√21)/2}{K+(1-√21)/2}<0
0<K<(-1+√21)/2<1.8

K=1
x=50K/(5-K)=50/4=12.5分
K郎=1郎が歩いた時間は
12.5分
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数学には古代数学者たちによって導き出されたさまざまな公式がありますが、その公式は古くからなるもので近世に導き出された公式がなかなかありません。

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まずは何処かに申請しなければならないと思うのですが、全くわからないのでどなたかわかる方いらっしゃったら回答していただきたいです。

Aベストアンサー

なるほど。

高校数学や大学受験数学に役立つ、ということであれば、大学受験数学の月刊誌「大学への数学」(東京出版)に投稿(提案)してみてはいかがでしょう。

編集部宛てに、「こういう問題を解く際に、今まで知られていない、こういう方法(公式)があることを発見しました。貴誌で紹介してみたらどうですか」という感じで。

いわゆる「1/6公式」とか、「斜回転体の体積を求める積分公式(※)」のような有用なものであれば、採り上げてくれるかも知れません。

※:例えば、「y=x²とy=xで囲まれた領域をy=xを軸として回転させたときにできる立体の体積」を簡単に求めるやり方。

Q数学

『青の数学』という本で出てきた問題です。
『x²±(x+y+z),y²±(x+y+z),z²±(x+y+z)がどれも有理数の平方であるような正の有理数x,y,zを一組求めよ』というもんだいがでてきました。
この本の中ではx² ±(x+y+z)=有理数の平方
       y² ±(x+y+z)=有理数の平方
       z² ±(x+y+z)=有理数の平方
 
       a²+b²±2ab =(a+b)²   ピタゴラスの定理
       
       ↓            

       c²  ±2ab =(a+b)²  
  面積が同じで、辺の長さの違う『三つの』直角三角形
というとこまでわかったのですが答えが
    x=48/203 y=48/259 z=96/791 
なぜこの数になるか意味がわかりません
わかる人教えてください

Aベストアンサー

x=48/203
y=48/259
z=96/791
の時
x^2+x+y+z
は有理数の平方にはなりません
したがってその答えは間違いです

x=48/203=16*3/(29*7)
y=48/259=16*3/(37*7)
z=96/791=32*3/(113*7)

x+y+z
=48/203+48/259+96/791
=48*4*343/(29*37*113)

x^2+x+y+z
=48^2/(49*29^2)+48*4*343/(29*37*113)
=48*4(37*113*12+29*49*343)/(37*49*113*29^2)
=48*4(537575)/(37*49*113*29^2)
=48*4*25*21503/(37*49*113*29^2)
(21503は3で割り切れないので)
は有理数の平方にはなりません

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r = 10 のときの値は、
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dS/dt[t = t1] = (8π10)(2) = 160π [cm^2/s].

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Aベストアンサー

実際に計算してみましたか?
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少々複雑ですが計算すると、
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------------------
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Q1+2+3+4+...=-1/12はどうやっても成り立つものなのでしょうか

ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...になるのは式の上で簡単に分かります。
ゼータ関数を解析接続で拡張したあとに-1を入れたら-1/12になるのはそうなんですねといった感じですが、ゼータ関数以外を使って1+2+3+...(のようなもの)を計算したときに-1/12以外にはならないのでしょうか。
ある定義域外の値を入れると式の上で「1+2+3+...」になるような、部分的に定義された正則な関数はゼータ関数以外にもありえそうな気がするのですが、その関数を解析接続で拡張し、その拡張された関数を使って1+2+3+...のようなものを求めても必ず-1/12になるのでしょうか。
また、自然数の総和以外にも、他の本来収束しない数列などに対して解析接続によって与えられる値はどうなのでしょうか。

関数f(z),g(z),発散する数列Anがあり、
ある値p,qがあってf(p)とg(q)が共にAnの極限と式の上で一致し、
しかしf,gをそれぞれ解析接続して得た関数F,GによるF(p)とG(q)は異なる、
といった場合はあり得るのでしょうか。

式の上で一致、という言葉がかなり曖昧ですが初学者の興味ということで…

ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...になるのは式の上で簡単に分かります。
ゼータ関数を解析接続で拡張したあとに-1を入れたら-1/12になるのはそうなんですねといった感じですが、ゼータ関数以外を使って1+2+3+...(のようなもの)を計算したときに-1/12以外にはならないのでしょうか。
ある定義域外の値を入れると式の上で「1+2+3+...」になるような、部分的に定義された正則な関数はゼータ関数以外にもありえそうな気がするのですが、その関数を解析接続で拡張し、その拡張された関数を使って1+2+3+....続きを読む

Aベストアンサー

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 だと言いたがる人は
ある程度以上に数学が解る人の中にも多く、
困ったものだと感じています。
素人を困惑させることが、そんなに楽しいのでしょうか。
数学の楽しみは、ものごとをちゃんと考えることにあるので、
あえて話をわかりにくくして「これがロマンだ」みたいな
ことを言われても、なんだかなあな印象です。
そういうアプローチじゃないことが数学のロマンなんだと、
数学者でない私は考えています。

ゼータ関数 ζ(s) が Re(s) > 1 で ζ(s) = Σ1/n^s と表されることと、
ζ(-1) = -1/12 であることは事実ですが、
ζ(s) が Σ1/n^s で表されるのは Re(s) > 1 の範囲でだけです。
関数の級数表示は収束域が制限される場合があるからこそ、
解析接続に意味があるのです。
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 という式は、ζ(-1) = -1/12 を意味しません。
その式は、左辺が発散しているだけの、成立しない等式です。

Q(2)をおしえてください

(2)をおしえてください

Aベストアンサー

(1+2+2²)(1+3)(1+5)(1+7)
これは2²x3x5x7=420の約数 に関連する展開式です
これを展開してできる項は1や2²x5x7=140,2x3x5x7=210など多数ありますが、その1つ1つは420の約数になります
そして、1つ1つ展開する場合
1つ目のカッコからは1か2か2²(3個中1個)を選んで
2つ目のカッコからは2個中1個を
3つ目のカッコからは2個中1個を
4つ目のカッコからは2個中1個を
選んで掛け算して1や140や210などの項ができるのですから
展開して出来る項の総数は3x2x2x2=24です。
つまり420の約数は24個となります

20の約数についてなら
20=2²x5ですから
(1+2+2²)(1+5)を展開してできる項の1つ1つが20の約数となります(実際に展開して確認すると納得が行きます)
展開してできる項の数は3x2=6ですから、20の約数の数は6こと分かる、と言う仕組みです。

これを踏まえ(2)
約数が8個となる数の、約数 に関連する展開式のタイプは
①(a⁰+a¹+a²+・・・+a⁷)
②(a⁰+a¹+a²+a³)(b⁰+b¹)
③(a⁰+a¹)(b⁰+b¹)(c⁰+c¹) ただしa,b,cは素数
の3つです!(これがヒントに書かれている事の意味)
3つのタイプとも、ある約数が8個であるという話なのですが
①タイプでは約数8個を持つ数nとしては、a=2、つまりn=2⁷=128に関する話とする場合が最小です。
②ではa=2,b=3,つまりn=2³x3¹=24の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
③ではa=2,b=3,c=5つまりn=2x3x5=30の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
このうちで最小のものは②の24ですからこれが求めるべき答えとなります!

(1+2+2²)(1+3)(1+5)(1+7)
これは2²x3x5x7=420の約数 に関連する展開式です
これを展開してできる項は1や2²x5x7=140,2x3x5x7=210など多数ありますが、その1つ1つは420の約数になります
そして、1つ1つ展開する場合
1つ目のカッコからは1か2か2²(3個中1個)を選んで
2つ目のカッコからは2個中1個を
3つ目のカッコからは2個中1個を
4つ目のカッコからは2個中1個を
選んで掛け算して1や140や210などの項ができるのですから
展開して出来る項の総数は3x2x2x2=24です。
つまり420の約数は24個となります

...続きを読む

Qr(t)=(cos(t),sin(t),t)をt=t(s)と変数変換して|r'(s)|=1となるよう

r(t)=(cos(t),sin(t),t)をt=t(s)と変数変換して|r'(s)|=1となるようなt(s)の逆関数s=t^-1(t)を求めて下さい.

Aベストアンサー

>結局t(s)は1つだけとは限らないのでしょうか?

質問の意図がよく判りませんが...
ds/dt = |dr/dt| の替りに ds/dt = -|dr/dt| でもよいこと
s = ∫|dr/dt|dt に積分定数が付くことを考えると、
1つだけではありませんね。


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