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なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか?

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A 回答 (5件)

No.4ですが、少しだけ、式を書き違えた、(F(θ)をIとした)ので書き直した。



なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか?>


sin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのは、あなたが「関数の関数の微分法」を知っていて
y=sin³θでt= sinθと置くと、y=t³となり、
dy/dθ= dy/dt・dt/dθ=3t²・cosθ=3sin²θcosθとなるからです。
sin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのは、あなたが「置換積分」を知らないのか、それを使わないからです。
F(θ)=∫sin³θdθの積分を実行するには、t= cosθと置くと、
sin²θ=1-cos²θ= 1-t²,-sin²θ= t²-1
dt/dθ=-sinθとなり、dt=-sinθdθとすることができる。これを使うと、
F(θ)=∫sin³θdθ=∫(-sin²θ) (-sinθ)dθ=∫(t²-1) dtとなる。このtの積分は容易にできて
F(θ)=∫(t²-1) dt=t³/3-t+C= cos³θ/3-cosθ+C Cは積分定数である。これが答えである。
検算のためにF(θ)を微分すると
F '(θ)=( 3cos²θ/3)×(-sinθ) + sinθ=( cos²θ)×(-sinθ) + sinθ
=( 1-sin²θ)×(-sinθ) + sinθ=sin³θ となる。
この置換積分は、t= cosθと置いたから成功したが、どのように置けば成功するかは非常にむつかしい。
普通は、できない場合が多い。試験問題に出るのは、成功するものばかり選んで出題されているので、どのように置換すれば成功するかを探さなければならない。成功例のテクニクをあらかじめ知っておくのが最善の対策である。
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なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか?>



sin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのは、あなたが「関数の関数の微分法」を知っていて
y=sin³θでt= sinθと置くと、y=t³となり、
dy/dθ= dy/dt・dt/dθ=3t²・cosθ=3sin²θcosθとなるからです。
sin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのは、あなたが「置換積分」を知らないのか、それを使わないからです。
F(θ)=∫sin³θdθの積分を実行するには、t= cosθと置くと、
sin²θ=1-cos²θ= 1-t²
dt/dθ=-sinθとなり、dt=-sinθdθとすることができる。これを使うと、
I=∫sin³θdθ=∫(-sin²θ) (-sinθ)dθ=∫(t²-1) dtとなる。このtの積分は容易にできて
F(θ)=∫(t²-1) dt=t³/3-t+C= cos³θ/3-cosθ+C Cは積分定数である。これが答えである。
検算のためにF(θ)を微分すると
F '(θ)=( 3cos²θ/3)×(-sinθ) + sinθ=( cos²θ)×(-sinθ) + sinθ
=( 1-sin²θ)×(-sinθ) + sinθ=sin³θ となる。
この置換積分は、t= cosθと置いたから成功したが、どのように置けば成功するかは非常にむつかしい。
普通は、できない場合が多い。試験問題に出るのは、成功するものばかり選んで出題されているので、どのように置換すれば成功するかを探さなければならない。成功例のテクニクをあらかじめ知っておくのが最善の対策である。
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なぜですか?って言われるとちょっと苦ですが


まぁ微分してみたらわかります(積分した式を)
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>なぜin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか?


(sin^4θ)(-cosθ)/4を微分してもsin^3θにならないから
では?
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なぜ (d/dθ)(sin^3 θ) = (3sin^2 θ)(cosθ) になるかは、


合成関数の微分公式 dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) で説明できます。
z = sin^3 θ, y = sinθ, x = θ に適用すると、
z = y^3 から dz/dy = 3y^2, dy/dθ = cosθ なので
dz/dθ = (3y^2 θ)(cosθ) になるからです。

一方、なぜ ∫(sin^3 θ)dθ = (sin^4 θ)(-cosθ)/4 ではないかというと、
そういうことって説明のしようがないですねえ。
あなたが、なぜ、そんな式がなりたつと思ったのかを書いてくれれば、
その考えのどこが間違っているかは説明できるでしょうけど。

結果的に成立しないことは、以下のように示せます。
もしそれが成立するとしたら、微分して
sin^3 θ = (4sin^3 θ)(cosθ)(-cosθ)/4 + (sin^4 θ)(sinθ)/4
も成り立つはずですが、θ = π/4 を代入すると
左辺 = 1/2√2、右辺 = -3/16√2 で一致していません。
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