微分方程式 (x^2y^2+x)dy+ydx=0 はどのように解けば良いのでしょうか、解き方を教えて

微分方程式
(x^2y^2+x)dy+ydx=0
はどのように解けば良いのでしょうか、解き方を教えてください、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/22 13:55

(x^2y^2 + x)dy + ydx = (xy)^2 dy + (xdy + ydx) = (xy)^2 dy + d(xy)

と変形できますね。 xy = z と置くと、与式は z^2 dy + dz = 0 と書けます。
dy/dz = -1/z^2 ですから、積分して y = 1/z + C　(Cは定数)。
y = 1/xy + C を整理して、y = A±√(A^2 + 1/x)　(A=C/2は定数)。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2019/04/26 14:32

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/22 14:37

ydx+(x^2*y^2+x)dy=0 について。

●ｙを独立変数とみると与式は、
dx/dy+(1/y)*x=-y*x^2 となりBernoulli形です。
x^(-1)=u(y) とおくと、
du/dy - (1/y)*u=y.(１階線形) ですから、
u(y)=y(y+C). すなわち、xy(y+C)=1.
●与式の両辺に 1/(xy)^2, (積分因子)をかけると、
(-1/y)(-1/x^2)dx+{1 + (-1/x)(-1/y^2)}dy=0 より、
F(x, y)=y - 1/(xy)=C.
を得ます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2019/04/26 14:32