数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/22 20:13

1)= lim x→a ｛ (xーa)f(a)+af(a)ーaf(x)｝/(xーa)

= lim x→a f(a)ーa (f(x)ーf(a))/(xーa)
ここで、
f'(a)=lim x→a ｛ f(x)ーf(a)｝/(xーa) ……(1) より
=f(a)ーa・f'(a)

同様に
2)= lim x→a ［ (x^2ーa^2)f(a)ーa^2｛ f(x)ーf(a)｝］/(xーa)
= lim x→a (x+a)・f(a) ーa^2 ｛ f(x)ーf(a) ｝/(xーa)
ここで、(1)より
=2a f(a)ーa^2・f'(a)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/04/23 20:47

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/23 13:50

微分係数の定義を用いる問題です

(1)の式の分母がx-aだから、分子がf(x)-f(a)であれば
平均の変化率=f(x)の増加量/xの増加量={f(x)-f(a)}/(x-a)　という事になります
これをグラフにして考えれば、A(a,f(a))とB(x,f(x))という2点間を結ぶ直線の傾きが、平均の変化率に相当します
ここで、xをaに近づけることを考えます。
するとグラフ上で点BはAにドンドン接近（究極的には重なることになります）。このとき、2点A,Bを結ぶ直線は究極（xをaに極めて近付けたとき）ではf(x)が表すグラフの点Aにおける接線となります。
「★」はx→aを表すとして
究極(xの値がきわめてaに近いとき）では、変化率=Lim(★){f(x)-f(a)}/(x-a)という事になりますが
この変化率は、「平均の変化率」から「瞬間の変化率」という呼び名にかわり、
グラフ上では瞬間の変化率はAにおける接線の傾きを表すことになります。
このことを、数学では
微分係数：f'(a)=Lim(★){f(x)-f(a)}/(x-a) と定義しています。

従って(1)では定義を利用できるように、{f(x)-f(a)}/(x-a)と言う形を登場させることが式変形のpointになります
(1)=Lim(★)[ x{f(a)-f(x)}+xf(x)-af(x)]/(x-a)　←←←強引にf(a)-f(x)=-(f(x)-f(a))を登場させ、元の式と[=]で結べるように+xf(x)を付け加えて帳尻合わせ
=Lim(★)[ -x{f(x)-f(a)}+(x-a)f(x)]/(x-a)
=Lim(★)[ -x{f(x)-f(a)}/(x-a)+f(x)]
ここで　微分係数の定義を用いて
=-af'(a)+f(a)　

(↑　x→aでは、-xが-aに、{f(x)-f(a)}/(x-a)がf'(a)に。また末尾f(x)がf(a)になる)

（２）同様に{f(x)-f(a)}/(x-a)が登場するように式変形をします
(2)=Lim(★)[x²{f(a)-f(x)}+x²f(x)-a²f(x)]/(x-a)
=Lim(★)[x²{f(a)-f(x)}+x²f(x)-a²f(x)]/(x-a)
=Lim(★)[-x²{f(x)-f(a)}/(x-a)+(x²-a²)f(x)/(x-a)]
=Lim(★)[-x²{f(x)-f(a)}/(x-a)+{(x-a)(x+a)f(x)}/(x-a)]
=Lim(★)[-x²{f(x)-f(a)}/(x-a)+{(x+a)f(x)}]
=-a²f'(a)+2af(a)

(↑　ｘ→aのとき、-x²→a²．(x+a)→(a+a)=2a)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/04/23 20:48

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/22 20:04

1)= lim x→a ｛ (xーa)f(a)+af(a)ーaf(x)｝/(xーa)

= lim x→a f(a)ーa (f(x)ーf(a))/(xーa)
ここで、
f'(a)=lim x→a ｛ f(x)ーf(a)｝/(xーa)より
=f(a)ーa・f'(a)