微分方程式の解の一意性

初期値問題
y`=f(x,y)かつy(α）＝βに関して、(x,y)=（α,β）を中心とするある長方領域D=｛(x,y)❘❘x-α❘≦aかつ❘y-β❘≦b}において、ｆが連続であり、D上の任意の２点（x,y),(x,z)に関してリプシッツ連続であるとする。
このとき、Dにおける❘ｆ(x,y)❘の最大値をMとするとき、初期値問題の解は❘x-α❘≦min{a,b/M}を満たして一意的に存在する。
（問）α＞０とする。
初期値問題y`=❘ｙ❘＾αかつｙ（０）＝０の解が一意的に存在するための必要十分条件はα≧１であることを示せ。
（画像）
とあるのですが、上の定理では長方領域Dを指定してその内部のさらに狭い領域での一意性が保証されています。
この問題の場合、調べていくとｆと∂f/∂ｘ、∂ｆ/∂ｙともにR^2上で連続であるから、リプシッツ条件諸々定理の条件は満たされていますが、「ある長方領域Dに関して上の定理を使いそのなかの一部に関して一意性が示される」という形で定理は使うほかありません。
（疑問）α≧１では解が一意に存在するとありますが、それはどの範囲で示せばよいのですか？
（どの範囲までいえるのですか？）

質問者からの補足コメント

• 

  全平面R^2にまで拡大できるのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/25 03:29

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/24 18:43

任意の D についてリプシッツ条件が成り立ち、一意解が存在する

のであれば、そのことをそのとおりに書けばよいでしょう。
べき級数の広義一様収束も、なんかそんな感じでしたよね。