初期値問題
y`=f(x,y)かつy(α)=βに関して、(x,y)=(α,β)を中心とするある長方領域D={(x,y)❘❘x-α❘≦aかつ❘y-β❘≦b}において、fが連続であり、D上の任意の2点(x,y),(x,z)に関してリプシッツ連続であるとする。
このとき、Dにおける❘f(x,y)❘の最大値をMとするとき、初期値問題の解は❘x-α❘≦min{a,b/M}を満たして一意的に存在する。
(問)α>0とする。
初期値問題y`=❘y❘^αかつy(0)=0の解が一意的に存在するための必要十分条件はα≧1であることを示せ。
(画像)
とあるのですが、上の定理では長方領域Dを指定してその内部のさらに狭い領域での一意性が保証されています。
この問題の場合、調べていくとfと∂f/∂x、∂f/∂yともにR^2上で連続であるから、リプシッツ条件諸々定理の条件は満たされていますが、「ある長方領域Dに関して上の定理を使いそのなかの一部に関して一意性が示される」という形で定理は使うほかありません。
(疑問)α≧1では解が一意に存在するとありますが、それはどの範囲で示せばよいのですか?
(どの範囲までいえるのですか?)
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