f(x)=x+e^xの漸近線の方程式を求めよ。 必要があれば、lim[x→∞]x/e^x=0を用いて

f(x)=x+e^xの漸近線の方程式を求めよ。
必要があれば、lim[x→∞]x/e^x=0を用いても良い。

lim[x→∞]f(x)/xを計算し、1+e^x/xとなったのですが
lim[x→∞]e^x/xはどのようにして不定形じゃなくすのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/04/27 08:30

lim[x→∞]e^x/xは、∞/∞の不定形だけど、x→∞のときのe^xとxの増加速度を考えると、

e^xの方が圧倒的に速いことは自明（常識）なので、証明や説明など全く書かずにlim[x→∞]e^x/x=∞としていい。

逆に、そのようなごく当然のことに対してイチイチ証明や説明を書くと、「こいつは数学を全然判ってない」と見なされてしまう。

ただ、この問題に限って言えば、「必要があれば、lim[x→∞]x/e^x=0を用いても良い。」とあるので、
lim[x→∞]e^x/x = lim[x→∞]1/(x/e^x) = ∞とやってもいいが。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/27 05:08

高校数学では漸近線は直線に限られています。

y=x+e^xに無限に近付く直線の方程式を求めることになります。x→+∞では漸近線はありません。x→－∞ではy=xが漸近線となる。y=x+e^xのグラフと漸近線y=xの差はΔy=e^xで
lim[x→－∞]Δy=lim[x→－∞]e^x=0となるので、y=xは漸近線である。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/26 23:49

lim[x→∞]1+e^x/x =1+1/lim[x→∞]x/e^x = ∞,

lim[x→-∞]1+e^x/x = lim[u→∞]1+e^(-u)/(-u) = 1-1/lim[u→∞]ue^u = 1-0.